Divulgación Duda sobre operadores matriciales en mecanica cuantica matricial.

[inakigarber]

Buenas noches;
Siguiendo adelante con este blog de mecánica cuántica, me encuentro con este texto que me está despistando más de lo habitual.
"PROBLEMA: Demostrar que el operador matricial L² conmuta con las tres componentes matriciales L_x, L_y y L_z del momento angular."
Añade un desarrollo matemático que termina en;

$$[L^2,L_x]=[L_y^2,L_x]+[L_z^2,L_x]$$

Hasta aquí bien, pero me pierdo en el párrafo siguiente cunado dice;
"A continuación reduciremos el primer término de esto último recurriendo a una pre-multiplicación y una post-multiplicación con L_y actuando sobre [L_y,L_x]..."
La solución final que da es;

$$[L^2,L_x]=0$$

Yo he seguido otro razonamiento que llega a la misma conclusión;

$$[L^2,L_x]=[L_y^2L_x-L_xL_y^2]+[L_z^2L_x-L_xL_z^2]$$

$$[L^2,L_x]=L_y^2L_x-L_xL_y^2+L_z^2L_x-L_xL_z^2$$

Saco factor común de $L_x$ y obtengo;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Pero se trata de un producto matricial y el orden de factores puede alterar el producto.
¿Es correcto lo que hago? y si no lo es ¿Dónde fallo?
Saludos y gracias

[alexpglez]

Re: Duda sobre operadores matriciales en mecanica cuantica matricial.

Saco factor común de $L_x$ y obtengo;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Pero se trata de un producto matricial y el orden de factores puede alterar el producto.
¿Es correcto lo que hago? y si no lo es ¿Dónde fallo?
Saludos y gracias

Es incorrecto, como bien dices la demostración falla en que el orden de los factores puede alterar el producto, y en este caso lo altera. De la misma forma que para que pudieses escribir $AB=BA$ tendrías que demostrar primero que $[A,B]=0$ (de donde se deduce la anterior igualdad).

[Jose D. Escobedo]

Re: Duda sobre operadores matriciales en mecanica cuantica matricial.

Buenas noches;
Siguiendo adelante con este blog de mecánica cuántica, me encuentro con este texto que me está despistando más de lo habitual.
"PROBLEMA: Demostrar que el operador matricial L² conmuta con las tres componentes matriciales L_x, L_y y L_z del momento angular."
Añade un desarrollo matemático que termina en;

$$[L^2,L_x]=[L_y^2,L_x]+[L_z^2,L_x]$$

Hasta aquí bien, pero me pierdo en el párrafo siguiente cunado dice;
"A continuación reduciremos el primer término de esto último recurriendo a una pre-multiplicación y una post-multiplicación con L_y actuando sobre [L_y,L_x]..."
La solución final que da es;

$$[L^2,L_x]=0$$

Yo he seguido otro razonamiento que llega a la misma conclusión;

$$[L^2,L_x]=[L_y^2L_x-L_xL_y^2]+[L_z^2L_x-L_xL_z^2]$$

$$[L^2,L_x]=L_y^2L_x-L_xL_y^2+L_z^2L_x-L_xL_z^2$$

Saco factor común de $L_x$ y obtengo;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Pero se trata de un producto matricial y el orden de factores puede alterar el producto.
¿Es correcto lo que hago? y si no lo es ¿Dónde fallo?
Saludos y gracias

En la linea (4) suma esto: $-L_y L_x L_y+L_y L_x L_y$ en medio de: $L_y^2 L_x -L_x L_y^2$, luego se reduce a $L_y(L_y L_x -L_x L_y) + (L_y L_x-L_x L_y) L_y \Rightarrow$
$L_y[L_y,L_x] +[L_y,L_x] L_y$. Despues, recuerda que: $[L_x, L_y] = i \hbar L_z$ ( no se te olvide que es ciclico). Enseguida, haz lo mismo con $L_z^2 L_x -L_x L_z^2$ para finalizar agrupando y eliminando.

Si sigues teniendo dudas vuelve a preguntar.

Saludos

[inakigarber]

Re: Duda sobre operadores matriciales en mecanica cuantica matricial.

Muchas gracias por tu respuesta. Creo que lo tengo algo mas claro ahora, aunque aun me queda mucho para poder digerir estas cuestiones. A veces me resulta difícil entender que esto tiene alguna utilidad practica. Me gustaría poderlo visualizarlo pero no puedo conseguirlo.
Aun debo seguir masticando este asunto.