2o ciclo Partícula libre

[Pablito]

Hola,buenas noches,debo hacer este ejercicio de cuántica pero no entiendo bien el ejercicio

Sin embargo aquí esta lo que he escrito y el enunciado:

la función de onda asociada a una partícula libre es de la forma $\Phi(x,t)=Ae^i(kx-wt)$ o
$\Phi(x,t)=Ae^i(wt-kx).$

Justificar cual es(la cual) compatible con la ecuación de Schrödinger $i.$$\frac{\partial }{\partial t } \Phi(x,t)=\frac{-\hbar^2}{2m }\frac{\partial ^2 }{\partial x^2}*\Phi(x,t)+V(x)\Phi(x,t)$?

2)La función de onda de la partícula puntual es dar por:
$\phi(x)=A.e^i(\frac{\pi.x}{a}+1) por -a<x<a.<br />$
$\phi(x)=0.$
Calcular A para que la función sea normado(normalizado).
¿cuál es la razón física de la normalización?
Lo que he escrito es aquí:

Y para el primero caso tenemos $i\hbar*(-wi)A.e^i(kx-wt)=(\frac{-\hbar^2}{2m}).-K^2.Ae^i(...)+V(x).A.e^i(...).=\hbar*w.A.e^i(...).<br />$

En el segundo caso tenemos $i.\hbar.wi.Ae^i(wt-kx)=-\hbar.w.A.e^i(..)=(\frac{-\hbar^2}{2m})*-K^2*A.e^i(..)+V(x)*A.e^i(...)$
$=-\hbar*w.A.e^i(...)$

Y si V(x)=0,tenemos $i\hbar*(-wi)A.e^i(kx-wt)=(\frac{-\hbar^2}{2m}).-K^2.Ae^i(...)=\hbar*w.A.e^i(...).<br />$
O $i.\hbar.wi.Ae^i(wt-kx)=-\hbar.w.A.e^i(..)=(\frac{-\hbar^2}{2m})*-K^2*A.e^i(..)$

Pero no sé que es la mejor función.
Alguien puede ayudarme por favor?

[alexpglez]

Re: Partícula libre

$$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}i\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi$$

Para la primera pregunta, suponiendo que está implícito que $k, \omega \in R^+$ y con V=0:

$$\Psi_1(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$

$$\Psi_2(x,t)=Ae^{i(\omega t-kx)}$$

Derivamos: $\partial_x \Psi_1=i k \Psi_1$, $\partial_x \Psi_2=-ik \Psi_2$, $\partial_x^2 \Psi_1=-k^2 \Psi_1$, $\partial_x^2 \Psi_2=-k^2 \Psi_2$, $\partial_t \Psi_1=-i\omega \Psi_1$ y $\partial_t \Psi_2=i\omega \Psi_2$.
Ssustituyendo en la ecuación y operando:

$$\hbar \omega \Psi_1=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi_1 \;\;\; \Rightarrow \hbar \omega=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

$$-\hbar \omega=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

Mientras que para 1, si que pueden existir el par de valores $\exists k, \omega \in R^+$, en 2 si te fijas $\not\exists k, \omega \in R^+$, puesto que si k es positivo el lado derecho también luego no puede ser igual al lado izquierdo negativo.

- - - Actualizado - - -

Y lo segundo, simplemente es normalizar la función de onda, es decir, calcular A para que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \vert \phi(x) \vert ^2 =1$$

Y la razón es simplemente probabilística, el cuadrado del valor absoluto de la función de onda se define como densidad de probabilidad, y la ecuación anterior es pues una definición para la función densidad de probabilidad.
Recuerda que se define así para evitar escribir en los denominadores tal valor N: $N=\int_{-\infty}^{\infty} \pi(x) dx$ con $\pi$ la densidad de probabilidad.

[Pablito]

Re: Partícula libre

Gracias por tu ayuda mi amigo !

- - - Actualizado - - -

[FONT=times new roman]"Y lo segundo, simplemente es normalizar la función de onda, es decir, calcular A para que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \vert \phi(x) \vert ^2 =1$$

"

Hola,alexpglez lo siento por mis preguntas pero intenté de calcular A sin embargo no soy cierto del resultado.
Tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \vert \phi(x) \vert ^2 =1$$

con $\phi(x)=A.(e^{i\frac{\pi.x}{a}}+1)$

y yo sé que $|\phi(x)^2|$ =$\phi(x).\phi(x)^*$.
Con $\phi(x)^*$ el conjugada compleja.

Por lo tanto tenemos $\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x).\phi(x)^* dx=\int_{-\infty}^{\infty} (A.e^{i\frac{\pi.x}{a}}+A)(Ae^{-i\frac{\pi.x}{a}}+A) dx$

[/FONT]$=\int_{-\infty}^{\infty }A.(e^{i\frac{\pi.x}{a}}+1)*A.(e^{-i\frac{\pi.x}{a}}+1) dx=$

$\int_{-\infty}^{\infty} (A+A^2.e^{i\frac{\pi.x}{a}}+A^2.e^{-i\frac{\pi.x}{a}}+A^2)dx=1$.

=$\int_{-\infty}^{\infty} (A+A^2.e^{i\frac{\pi.x}{a}}+A^2.e^{-i\frac{\pi.x}{a}}+A^2)dx=1$.
Pero es bueno?
Referente el A ,mi nivel de matematicas no va mas lejos.