1r ciclo Significado de la transformada de fourier

[alar]

En clase, en todos libros y páginas web que miro sobre la transformada de fourier me encuentro que esta transformada relaciona el dominio del tiempo con el dominio de frecuencias pero no entiendo muy bien que quiere decir esto.

Yo lo que yo entiendo es que si tenemos una onda esta onda la podemos descomponer en la suma de ondas de cierta frecuencia, al hacer la transformada de f(t) tendríamos $\hat{f}(\theta)$, con $\theta$ la frecuencia.
Así que si yo evalúo la función para una frecuencia cualquiera $\theta$ entonces $\hat{f}(\theta)$ es la contribución de esa frecuencia a la onda original. Así que al final, la suma de todas las contribuciones para todas las frecuencias debe ser la onda original.

Por ejemplo, el la transformada de cos(2x), nos debería dar sólo una gráfica discreta en los puntos -2,2 que son las únicas contribuciones que tenemos,. Si la función ya no es periódica la transformada me dará una función continua.

Espero que alguien me pueda corregir si es necesario, explicar o ampliar, gracias.

[Alriga]

Re: Significado de la transformada de fourier

Hola alar, mira este par de enlaces a ver si te son útiles:

Esta primera tiene una introducción y 4 ejemplos.
UNA VISIÓN PRÁCTICA EN EL USO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER COMO HERRAMIENTA PARA EL ANÁLISIS ESPECTRAL DE LA VOZ

Y en esta otra hay también ejemplos: La Transformada de Fourier ‘for dummies’

Saludos.

[Julián]

Re: Significado de la transformada de fourier

Bueno alar, la transformada de fourrier, o la serie permite representar una función como una combinación lineal de funciones ortogonales. Pudiendo ser estas funciones ortogonales senos, cosenos o la exponenciales complejas. La tendencia es utilizar exponenciales complejas por su simplificidad en el cálculo.

Yo lo que yo entiendo es que si tenemos una onda esta onda la podemos descomponer en la suma de ondas de cierta frecuencia, al hacer la transformada de f(t) tendríamos , con la frecuencia.

No solo una onda, cualquier función. Es decir , cualquier función es representable mediante una combinación lineal de exponenciales complejas.

Por ejemplo, el la transformada de cos(2x), nos debería dar sólo una gráfica discreta en los puntos -2,2 que son las únicas contribuciones que tenemos,. Si la función ya no es periódica la transformada me dará una función continua.

En este caso como estamos utilizando la serie de exponenciales complejas, es necesaria 2 para que en su suma generen cos(2x)

$\dst cos (2 x) = \frac{1}{2} {e}^{j 2 x}+{e}^{-j 2 x}$ ya que ${e}^{j \omega t} = cos (\omega t) + j sen (\omega t)$

Por lo tanto: $\dst cos (2x) = \frac{1}{2}(cos (2x ) + j sen (2x ) + cos (-2x ) + j sen (-2x )) = cos(2x)$

¿Se necesitan 2 "frecuencias" (2 y -2 )? Pues no, la frecuencia negativa solo aparece en las exponenciales complejas y son necesarias para poder obtener funciones reales.

Si por ejemplo estaríamos utilizando como función ortogonal al seno, entonces:

$\dst cos ( 2 x) = sen (2 x - \pi/2)$

Esto que se realizó para cos(2x) puede realizarse para cualquier función. Periódica o no periódica, la diferencia es que las funciones aperiodicas implican una combinación lineal de infinitas funciones ortogonales.