2o ciclo Oscilador armónico

[jugarmen]

Muy buenas a todos. Haciendo dos problemas que vienen con la solución me han surgido dos dudas:

- Si tengo una partícula que se encuentra en un estado normalizado que es una combinación lineal de dos autoestados de un oscilador armónico, ¿por qué $\left \langle \phi _{n}|\hat{X}\phi _{n} \right \rangle=0$? ¿No debería ser nulo sólo en caso de que fueran distintos autoestados al ser ortogonales? ¿Se debe a esta ortogonalidad que además $\left \langle \phi _{n}|\hat{X}^{2}\phi _{n+1} \right \rangle=0$?

- Para demostrar que el módulo de la incertidumbre del operador aniquilación $\hat{a}$, $\Delta a=\sqrt[]{\left \langle \hat{a}^{2} \right \rangle-\left \langle \hat{a} \right \rangle^{2}}$ es constante en el tiempo se realiza en 1er lugar la derivada $\frac{\mathrm{d\left \langle \hat{a} \right \rangle} }{\mathrm{d} t}$ teniendo en cuenta que $\hat{H}=\hbar\omega\left ( \hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right )$:

$\frac{\mathrm{d\left \langle \hat{a} \right \rangle} }{\mathrm{d} t}=\frac{1}{i\hbar}\left \langle \left [ \hat{a},\hat{H} \right ] \right \rangle=\frac{\omega }{i}\left \langle \left [ \hat{a},\hat{a}^{\dagger} \right ]\hat{a} \right \rangle=-i\omega\left \langle \hat{a} \right \rangle$

¿Cómo se realizan estos pasos? Muchas gracias de antemano

[alexpglez]

Re: Oscilador armónico

Hola, aunque no tengo mucho conocimiento del oscilador cuántico te puedo responder a lo primero.
Dos vectores son ortogonales si:

$$<\phi_n|\phi_m>=A_{m,n}$$

Donde la matriz A es diagonal. Sin embargo si yo aplico un operador a un vector, lo transformo en otro distinto, luego el producto que indicas $\left \langle \phi _{n}|\hat{X}\phi _{n} \right \rangle=0$ puede ser 0 o no (también con el segundo ejemplo).
Ahora bien, el resultado que indicas es totalmente lógico y también es clásico: si yo tengo una partícula ligada a oscilador centrado, esta partícula de media (durante un número natural de periodos) en que posición está¿? Claramente en 0, puesto que es simétrico el movimiento tanto por la derecha como por la izquierda.

[sater]

Re: Oscilador armónico

Buenas. La primera expresión que pones, $\left \langle \phi _{n}|\hat{X}\phi _{n} \right \rangle=0$ es cierta para un autoestado dado. Si tienes una combinación lineal, debes expandir eso y para cada término que cumpla esa condición pues se anulará. La razón de que se anule es que el operador posición se expresa en función de los operadores de creación y destrucción, los cuales al actuar sobre un estado lo elevan (o bajan) al nivel n+1 (o n-1), y entonces el producto restante ya es entre dos estados ortogonales. Te recomiendo echarle un vistazo al Cohen para que veas las expresiones concretas.
Sobre el segundo no sabría decirte ahora mismo. A ver si algún otro usuario se anima.