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Transformada de Fourier

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  • 2o ciclo Transformada de Fourier

    Hola. Estoy realizando un desarrollo matemático de un problema de difracción a través de dos redes periódicas aplicando aproximación de Fresnel y tengo que gacer uso de trasformadas de Fourier. Debería saber usarlas sin problema, pero hace tiempo que lo estudié y lo tengo algo oxidado, a ver si me podéis echar una mano!

    En el problema suponemos que la fuente es un emisor lambertiano, por lo que a una distancia viene dado por:



    y me dicen que su transformada de Fourier (obviando constantes multiplicativas) es:



    El problema es que aplico la definición de la TF pero no sé pasar de la integral y mucho menos llegar a ese resultado.

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    Y ahora, además de que no sé cómo resolverla, no veo claro que me vaya a dar el resultado que he mostrado antes.

    Gracias!
    Última edición por Zhisi; 03/10/2016, 10:29:00. Motivo: Errata en una ecuación.

  • #2
    Re: Transformada de Fourier

    Completa el cuadrado dentro de la exponencial, haz un cambio de variable y te quedará la integral gaussiana.

    Saludos.
     \forall p \exists q : p❤️q

    Comentario


    • #3
      Re: Transformada de Fourier

      Gracias Samir, no me había dado cuenta de que podía completar el cuadrado.

      Sin embargo, acabo de percatarme de que hay una errata en mi expresión (corregida) y es que tengo dos diferentes en la exponencial: y . la viene de la exponencial que se introduce al hacer la transformada de Fourier, donde además he hecho .
      Dde nuevo, no sé cómo hacer la integral.

      Si alguien sabe indicarme el camino para resolver la integral o para realizar la transformada aplicando las propiedades de las mismas, se lo agradecería.

      Comentario


      • #4
        Re: Transformada de Fourier

        El camino es el mismo aunque más engorroso. Completa el cuadrado dentro de la exponencial, haz un cambio de variable y te quedará una integral gaussiana.

        Si no ves cómo completar al cuadrado de manera directa, define
        y completa

        - - - Actualizado - - -

        Por si te quedas atascado:

        Usando y que tenemos que:



        Haciendo el cambio entonces y la integral se reescribe como



        La anterior integral es evaluable mediante integración de contorno.

        Saludos.

        - - - Actualizado - - -

        Aunque bueno, no es necesario evaluar la integral si obvias constantes multiplicativas. De hecho, ya coincide con tu respuesta.

        Saludos.
        Última edición por Samir M.; 03/10/2016, 12:18:57. Motivo: Añadir pista.
         \forall p \exists q : p❤️q

        Comentario


        • #5
          Re: Transformada de Fourier

          Uou!! Muchas gracias.
          Lo tenía ya a medio hacer, pero escribo desde el trabajo y hasta ahora no he podido responder. Lo repaso y te digo algo.

          - - - Actualizado - - -

          Creo que tienes un error al completar el cuadrado en la ec.:



          Desarrollando de nuevo el cuadrado obtengo:



          No afecta al resultado salvo por ctes.

          Por lo demás, creo que está bien y es el proceso de resolución que he seguido yo también.

          Comentario


          • #6
            Re: Transformada de Fourier

            Mm yo no veo el error, a ver...

            .

            Llego a lo mismo.

            Otra cosa, para tratar la integral sin análisis complejo es algo complicado. Primero tienes que demostrar su existencia y que converge condicionalmente. Después has de regularla por el método gaussiano o bien, usar el lema de Lebesgue-Riemann. Tu integral mola bastante desde el punto de vista del análisis real. No sé si te interesará este aspecto, pero si te surgen dudas respecto de ello ya sabes.

            Saludos.
             \forall p \exists q : p❤️q

            Comentario


            • #7
              Re: Transformada de Fourier

              Lo cierto es que va más allá de lo que necesito. Pero si te animas a poner algo al respecto, seguro que en un futuro a alguien le viene bien

              Y gracias por la ayuda!

              Comentario

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