1r ciclo Duda ejercicio base subespacios vectoriales

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Se considera el R espacio vectorial V= R3 [x] y sus subespacios S y T,donde:

S = < 8 -10x + x^2 + x^3, 1+x > , T= {p(x) ∈ V : p(1) = p(2) = 0}

a) Hallar las ecuaciones implícitas, las paramétricas y las bases de S y T.


Tengo bastantes dudas con el álgebra, hay un ejercicio que encontré resuelto en el campus virtual de mi universidad, pero no lo entiendo:

Bueno, primero calculan las bases de S, que son r1 = (8,-10,1,1) y r2 = (1,1,0,0)

Luego para hallar las ecuaciones implícitas

$\forall$q(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 $\varepsilon$ S


r ( a b c d / 8 -10 1 1 / 1 1 0 0) = 0 Bueno, he aquí mi primera duda, normalmente el vector que se añade para las ec. implícitas es el (x,y,z) , pero ellos añaden a,b,c,d ¿por qué?

Ahí está la primera duda.

La segunda duda es con el subespacio T

Pone que sus ecuaciones implícitas, ¿ponen a,b,c porque es un polinomio y no un vector? a+ b +c + d = 0

a+2b+4c+8d = 0 ---> ¿De dónde sacan esta ecuación? si es p(2), por qué no está multiplicada por 2 la "a" de la segunda ecuación

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Duda ejercicio base subespacios vectoriales

Lo que tienes que hacer es encontrar que relaciones se pueden armar entre las componentes de los vectores de la base para generar todo el sub espacio(en este caso los factores que acompañan a cada exponente del polinomio de base x)

es decir

$a + bx + cx^2 + dx^3 =\alpha (8,-10,1,1)\cdot(x^0,x^1,x^2,x^3)+\beta (1,1,0,0)\cdot(x^0,x^1,x^2,x^3)$

de aqui sacas que

$$\begin{pmatrix}<br /> a =& 8\alpha &+1\beta \\<br /> b =& -10\alpha &+1\beta \\<br /> c =& 1\alpha &+0\beta \\<br /> d =& 1\alpha &+0\beta <br /> \end{pmatrix}$$

de aqui sacas que

$\alpha =c=d$
$\beta=a-8c=a-8d=b+10c=b+10d$

reemplazando en 1

$$\begin{pmatrix}<br /> a =& 8c&+1(a-8c) \\<br /> b =& -10c &+1(a-8c) \\<br /> c =& c&+0(a-8c) \\<br /> d =& c&+0(a-8c) <br /> \end{pmatrix}$$

que queda

$$\begin{pmatrix}<br /> a =& a\\<br /> b =& a &-18c \\<br /> c =& c \\<br /> d =& c<br /> \end{pmatrix}$$

esas son las ecuaciones implicitas del primer sub espacio

el otro sub espacio lo defines como

a + bx + cx^2 + dx^3 =0 y tiene que suceder esto cuando x=1 y cuando x=2 es decir

$$\begin{pmatrix}<br /> a1^0+b1^1+c1^2+d1^3=&0=&a+b+c+d\\<br /> a2^0+b2^1+c2^2+d2^3=&0=&a+2b+4c+8d<br /> \end{pmatrix}$$

es decir los vectores serian (1,1,1,1)y(1,2,4,8)

$a + bx + cx^2 + dx^3 =\alpha (1,1,1,1)\cdot(x^0,x^1,x^2,x^3)+\beta (1,2,4,8)\cdot(x^0,x^1,x^2,x^3)$

y resuelves del mismo modo......

[angel relativamente]

Re: Duda ejercicio base subespacios vectoriales

Hola, respondo exclusivamente a las dudas que has puesto:

r ( a b c d / 8 -10 1 1 / 1 1 0 0) = 0 Bueno, he aquí mi primera duda, normalmente el vector que se añade para las ec. implícitas es el (x,y,z) , pero ellos añaden a,b,c,d ¿por qué?

Supongo, en primer lugar, que eso que pones igualado a cero pretendía ser un determinante. Con respecto a lo de que ponen $(x,y,z)$, ten en cuenta que aquí la base tiene 4 componentes y no 3. En todo caso podrían poner $(x,y,z,t)$. No obstante como aquí estás con polinomios la $X$ está reservada para la variable, por lo que los vectores en el espacio vectorial de los polinomios, que no son más que sus componentes, usan otra notación para no confundir. También aparte de $(a,b,c,d)$ se suele poner $(a_0, a_1 , a_2 , a_3)$, así para dimensiones grandes te aseguras que no se te acaban las letras del abecedario. Pero repito, es solo notación.

La segunda duda es con el subespacio T

Pone que sus ecuaciones implícitas, ¿ponen a,b,c porque es un polinomio y no un vector?

La razón de las letras es la que te he explicado, pero no confundas conceptos con la frase "es un polinomio y no un vector". Un vector es, por definición, un elemento de un espacio vectorial. El espacio de los polinomios es un EV y por tanto sus elementos (los polinomios) son vectores, sin ningún privilegio más que los del espacio $\mathbb{R}^n$

¿De dónde sacan esta ecuación? si es p(2), por qué no está multiplicada por 2 la "a" de la segunda ecuación

Recuerda como se evalúa un polinomio en un número. No es multiplicar el polinomio por 2, es sustituir la x por 2. La $a$ es el término independiente del polinomio por lo que no queda multiplicada por x (ni por tanto por 2 al evaluar).

Saludos,