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círculos formando triángulo equilátero

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    Hola.

    Tengo círculos ordenados en filas de tal manera que forman un triángulo equilátero (como se ordenan las bolas de billar, por si quieren buscar en Google).

    Entonces, en una fila, hay un único círculo, en dos filas hay tres círculos, en tres filas hay seis círculos, en 4 hay 10...

    Cuál sería la fórmula que me permite hallar la cantidad de círculos a partir de la cantidad de filas?

  • #2
    Re: círculos formando triángulo equilátero

    Si n es el número de filas, la cantidad total de círculos S, es la suma de una sencilla progresión aritmética



    Por cierto, a estos números se les llama números triangulares

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 22/11/2016, 17:45:06. Motivo: Añadir información
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: círculos formando triángulo equilátero

      Sí, la formulé con una función recursiva:

      F(n)=F(n-1)+n. Siempre que n >= 1

      Pero, habrá alguna manera de representarla de otra manera? Como con una integral definida entre 1 y n, pero no sé cómo plantear ahí lo de la recursividad.

      Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi". Entonces creo que tengo que reescribir esa F(n) de otra manera tal que la segunda derivada de " algo * pi" me de "pi".

      - - - Actualizado - - -

      También la puedo escribir como una simple sumatoria de i desde i=1 hasta n.

      Pero igual, eso sería una constante, y no podría sacarle una segunda derivada a la expresión...

      Joer, no sé si se pueda...

      Comentario


      • #4
        Re: círculos formando triángulo equilátero

        Escrito por Saul Ortega Ver mensaje
        ... Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi" ...









        Saludos.
        "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

        Comentario


        • #5
          Re: círculos formando triángulo equilátero

          Hay algo que no estoy entendiendo. El ejercicio te pide cuántos círculos tienes en la fila n-ésima, ¿no? Ya te lo ha dicho Alriga, en la fila n-ésima hay
          Lo que no sé es para qué quieres lo de la derivada. En el paso que te hace Alriga en su segundo post hay algo peligroso, y es que la sucesión de círculos es discreta (y por tanto la función NO es continua), por lo que NO es derivable. Por eso Alriga se cuida de cambiar la por la , atendiendo en que ahora la es una variable que toma valores en los reales y por tanto la función que define es continua (es un polinomio) y fácilmente derivable. Pero el paso de una sucesión al continuo se sale completamente de lo que te pedía el ejercicio, y esas funciones que derivas NO representan los círculos en un triángulo.

          Saludos,
          [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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          • #6
            Re: círculos formando triángulo equilátero

            Hola Saul, por favor, lee Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

            Escrito por angel relativamente Ver mensaje
            ... en la fila n-ésima hay ...
            Aquí hay un pequeño error de despiste, se sobreentiende que lo que quiere decir Ángel es que esa es la expresión del total de círculos que hay en el triángulo de n filas.

            Escrito por angel relativamente Ver mensaje
            ... Hay algo que no estoy entendiendo ... Lo que no sé es para qué quieres lo de la derivada ...
            Yo tampoco lo entiendo, me he limitado a buscar una expresión continua similar a la discreta, que cumpla

            Escrito por Saul Ortega Ver mensaje
            ... Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi". Entonces creo que tengo que reescribir esa F(n) de otra manera tal que la segunda derivada de " algo * pi" me de "pi" ...
            Pero sin entender para que la necesita.

            Escrito por angel relativamente Ver mensaje
            ... En el paso que te hace Alriga en su segundo post hay algo peligroso, y es que la sucesión de círculos es discreta (y por tanto la función NO es continua), por lo que NO es derivable. Por eso Alriga se cuida de cambiar la por la , atendiendo en que ahora la es una variable que toma valores en los reales y por tanto la función que define es continua (es un polinomio) y fácilmente derivable. Pero el paso de una sucesión al continuo se sale completamente de lo que te pedía el ejercicio, y esas funciones que derivas NO representan los círculos en un triángulo ...
            Completamente de acuerdo


            Saludos.
            "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

            Comentario


            • #7
              Re: círculos formando triángulo equilátero

              ¿Y haciendo el cálculo por diferencias?

              Don't wrestle with a pig in the mud. You'll both get dirty, but the pig will enjoy it. - Parafraseando a George Bernard Shaw

              Comentario


              • #8
                Re: círculos formando triángulo equilátero

                Hola, gracias y perdón por contestar a estas alturas...

                Efectivamente la expresión es la que ya han dicho Alriga y Angel (Gracias, todopoderosísimo Wolfram Alpha, no sabía que podías hacer eso, alabado seas ).

                Pues ya que preguntan, intentaré contarles la historia:

                Necesitaba demostrar que área_conjunta_circulos/área_triángulo = pi/no_recuerdo. Hallé primero la expresión del denominador, que era mucho más grande que la que me daban, y, tras verificar que estaba correcta, descubrí que su segunda derivada era la expresión que me daban; así que deduje que la expresión del numerador que multiplica a pi debería ser de tal forma que su segunda derivada (incluyendo a pi) fuera pi, para aplicar la regla de L'hopital.

                Y efectivamente, así fue.

                Edito, por si hay dudas: El pi del numerador es de pi*r^2*cantidad_circulos (el área de los círculos), que al simplificar con el denominador (área del triángulo) el r^2 se cancela (el área del triángulo está dada en función de los radios de los círculos).

                - - - Actualizado - - -

                Edito: Me acabo de dar cuenta que Alriga ya me había dado la respuesta en su primer mensaje, antes de que yo respondiera, y yo matándome tratando de encontrarla... Es que esas imágenes de ecuaciones no se ven en mi celular...
                Última edición por Saul Ortega; 11/12/2016, 18:07:37.

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