1r ciclo Dinamica de rotacion

[yanpaul]

Hola eh tenido problemas para resolver este ejercicio, si alguien me pudiera ayudar gracias

Un disco de 0.50m de radio está unido a un tambor de 0.25 de radio formando un solo cuerpo de 50kg, con un radio de giro de 0.40m, y se mueve rodando sobre una superficie horizontal a causa de un bloque de 20kg masa unido al disco mediante un cable, como se ve en la figura.

Determine:
Aceleración del CM, aceleración angular del disco y la aceleración del bloque.

[Visitante]

Re: Dinamica de rotacion

Hola,
Lo primero es calcular el momento de inercia del cuerpo, luego haz un diagrama de fuerzas y aplica la ecuación de la dinámica de la rotación, por ahí debería de salir.

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Me pregunto si el cable tiene que estar inclinado para que la masa m pueda tener una componente horizontal de aceleración.
Saludos

[Al2000]

Re: Dinamica de rotacion

Me pregunto si el cable es tangente al disco en un punto ligeramente por debajo de la horizontal.
Saludos

[Zorak]

Re: Dinamica de rotacion

Me pregunto si el cable tiene que estar inclinado para que la masa m pueda tener una componente horizontal de aceleración.
Saludos

Lo que interpreto yo es que la masa atada a la soga le da una aceleración angular,y luego la fuerza de roce provocada por esta aceleración angular con la superficie , permite que el cuerpo acelere horizontalmente.

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Lo que interpreto yo es que la masa atada a la soga le da una aceleración angular,y luego la fuerza de roce provocada por esta aceleración angular con la superficie , permite que el cuerpo acelere horizontalmente.

Hola fijate que si sucede lo que tu afirmas ,el disco acelera horizontalmente y esa aceleración horizontal la debera tener tambien la masa m para acompañar al disco, por lo que el cable tendra inclinación como dice felmon38 y a la vez la tangente de este cable esta por debajo de la linea horizontal en el mismo angulo que se incline el cable con respecto a la vertical, como dice Al2000.

como del enunciado no interpreto que es el radio de giro 0.4m no me animo a dar una solucion completa.(es decir no se si se apoya en el tambor o en el radio de giro el grafico no es claro....)

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

ℝ³, creo que el enunciado da como dato el I del disco respecto de su centro: M.0,4²
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Creo que las ecuaciones necesarias son estas

sobre la masa m

$$\dst \sum F_x=T_x=ma_x$$

$$\dst \sum F_y=-T_y+m g=ma_y$$

sobre el disco M

$$\dst \sum F_x=\mu N -T_x=Ma_x$$

$$\dst \sum F_y=Mg+T_y-N=0$$

equilibrio de momentos

$$\cancel{\dst \sum M=T\times R_{ext}=I\alpha= MR_g^2\alpha}$$

$$\dst \sum M=T\times R_{ext}-\mu N r_T=I\alpha= MR_g^2\alpha$$

con

$$|T|=\sqrt{T_x^2+T_y^2}$$

$$\alpha=\dfrac{a_x}{r_T}$$

donde
$R_g=$radio de giro=0.4m
$r_T=$radio de tambor=0.25m
$R_{ext}=$radio del disco=0.5m

por ahí van los tiros creo ...7 ecuaciones y 7 incognitas así que hay solución

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Este es un problema muy lindo para realizarlo con el menor numero de suposiciones posibles, entre ellas creo que suponer que ambas masas están sometidas a la misma aceleración en el eje x es un error, ya que a priori me parece que esta va a depender de los valores de la masa m, el momento de inercia total, y de los radios del cuerpo.

No tengo mucho tiempo, así que dejo los diagramas de cuerpo libre para que los revisen, y corrijan los errores, y mañana la seguimos:

Algunas aclaraciones al dibujo y su Física:

$\dst R_A$ reacción del piso en el punto A

$\dst F_r \ \leqslant \ \mu \ R_A$ Fuerza de rozamiento para que no haya deslizamiento

$\dst T_1 = T_2$ Porque la cuerda no tiene masa

$\dst \beta$ Angulo de la cuerda con la vertical

En principio hay que reducir las fuerzas al CG de cada cuerpo, y también establecer una ecuación de vinculo entre el angulo rotado por el cuerpo de masa M y el desplazamiento del cuerpo de masa m.

También podría ser interesante ver si es posible resolverlo por energías.
Por ahora nada mas.

s.e.u.o.

Suerte !

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Me he pensado lo de la aceleración horizontal ...si no es fija entonces lo que sera fijo es es ángulo de descenso de la cuerda...de momento no lo tengo claro ...que opinan

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Me he pensado lo de la aceleración horizontal ...si no es fija entonces lo que sera fijo es es ángulo de descenso de la cuerda...de momento no lo tengo claro ...que opinan

El angulo de la cuerda respecto de la vertical $\beta$ depende del tiempo, solo hace falta imaginarse que cuando comienza el movimiento este angulo es nulo y empieza a crecer con el tiempo.
Sin embargo podemos deducir o intuir que pasado el tiempo suficiente este angulo alcanzara un valor máximo, no se intuir si dicho valor es alcanzable o es un limite asintotico. Peor es que no puedo aseverar que a partir de alcanzar dicho valor, $\beta$ permanezca sea constante ; por lo cual para mi se debe plantear la solución matemática para resolver estas dudas.

Voy a tratar de plantear parte de las ecuaciones a partir del diagrama de cuerpo libre.
Lo 1º a tener en cuenta es que dado que la cuerda no tiene masa resulta que:

$\dst T_1 =T_2 =T$

BALANCES EN LA MASA M

EJE x

$$\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$$

EJE y

$$\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$$

MOMENTOS

$$\dst F_r \ r_1 - T \ r_2 = I \alpha$$

BALANCES EN LA MASA m

EJE x

$$\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$$

EJE y

$$\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$$

MOMENTOS

Como m se considera una masa puntual no hay balances de momentos respecto del CG de este

Las incógnitas son un total de ocho: $\dst F_r ; \ T ; \ \beta ; \ a_{x_{CGM}} ; \ R_A ; \ \alpha ; \ a_{xm} ; \ a_{ym}$, y tenemos cinco ecuaciones.
Ahora hay que plantear las ecuaciones de vinculo considerando que no hay deslizamiento.

s.e.u.o.

Suerte

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Hola Broegan

He hecho un corrección pues no tome el momento que impulsa a la rueda hacia delante por rozamiento...

pero básicamente las formulas son las mismas


pues $T_x=|T|\sin \beta=T\sin \beta$ es una forma diferente de presentar las incognitas.

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Primero gracias por responder Richard.

.......pero básicamente las formulas son las mismas ................

Aunque en una 1º mirada nuestras ecuaciones pueden parecer iguales, tienen algunas diferencias.
Por lo pronto en tus ecuaciones se mantiene la igualdad entre las aceleraciones lineales de la masas M y m, mientras que en mis ecuaciones se suponen distintas; y vos asumís que la fuerza de rozamiento es $\dst F_r = \mu \ N$ siendo tu incógnita la reacción N y yo digo que $\dst F_r \leqslant \mu \ N$ asumiendo que tanto Fr y N son dos incógnitas independientes.

Ahora voy a plantear las ecuaciones que definen los vínculos, condición de rodadura sin deslizamiento y cinemática de la cuerda.

RODADURA SIN DESLIZAMIENTO

$$\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$$

CINEMATICA DE LA CUERDA

La aceleración de cualquier punto de la cuerda, respecto del punto en que la cuerda se despega del cilindro, esta dado por el ritmo en que se modifica la variación de la longitud de esta:

$\dst a_C = r_2 \ \alpha$

en la dirección de la cuerda, por lo cual la podemos descomponer según los ejes x e y:

$\dst a_{x_C} = a_C \ sen \beta$

$\dst a_{y_C} = a_C \ cos \beta$

y si ahora la referimos a un SR fijo al piso nos quedan dos ecuaciones que nos dan las aceleraciones de la masa m:

$\dst a_{x_m} = a_{x_{CGM}} - a_C \ sen \beta$

$\dst a_{x_m} = r_1 \ \alpha - r_2 \ \alpha \ sen \beta$

$$\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$$

$$\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$$

Con estas ecuaciones se completan las ocho ecuaciones con ocho incógnitas, transcribo:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1 = I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$
[FONT=Verdana]
[/FONT]6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$[FONT=Verdana]
[/FONT]
7 _ $\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

8 _ $\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Como las hago directamente en el editor, publico y después las reviso y edito.
Se aceptan criticas e ideas.
Si estas ecuaciones están bien en otro mensaje continuamos y despejamos las incognitas.

s.e.u.o.

Suerte !

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Breogan, de acuerdo con tus ecuaciones, aunque tengamos que admitir que se trata de una solución particular, adecuando las condiciones iniciales para la condición β=Cte. . En general β será variable.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

Observo que hay tres situaciones teóricas pasado cualquier transitorio de tiempo

1) $F_r>\mu_e (Mg+T_y) =\mu_e (Mg+T\cos \beta)$

condición de rodadura cuyo máximo se tiene cuando $\beta =0$

es decir cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

estoy de acuerdo que $\beta$ sera constante (si el cable es ideal) y que las aceleraciones horizontales de los dos cuerpos no pueden ser iguales , ya que largo del cable ira alargándose por lo tanto

abra una diferencia de aceleraciones igual $\alpha R_{ext}\sin \beta$ que es variable si $a_x\neq a_y$

entonces mientras la fuerza que aplica el movimiento de descenso calculada en base a la aplicación de los momentos $F_a=\dfrac{MR_g^2\alpha+R_{ext}T<br /> }{r_T}<br />$

entonces mientras [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que creo que es donde se centra el problema

luego

2) la condicion ideal hubiese querido plantear yo $F_r=F_a=\mu_e (Mg+T_y)$ con la corrección de Broegan sobre las aceleraciones aplicando similar criterio


3) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

la condición de rozamiento dinámico también hallara un equilibrio con otro $\beta$ que tambien es variable si $a_x\neq a_y$


para extraer conclusiones ...como sería entonces si $\beta$ no es constante y las aceleraciones no son iguales... pues ya me he mareado y no sabría como plantear el caso osea son esa las ecuaciones ni una mas ni una menos