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Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

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  • Olimpiada Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

    Hola a todos. Durante este mes voy a proponer una serie de problemas de matemáticas, con el objetivo de divertir a esta comunidad intentando resolverlos, así como aprender un poco de matemáticas tanto para los curiosos como para aquellos que estén preparándose algún examen tipo olimpiada. Cada 6 días subiré la solución del problema abierto y abriré uno nuevo, completando un total de 4 hasta final de año. Todos los problemas pueden resolverse con conocimientos preuniversitarios y la solución propuesta es relativamente corta.
    En todos los problemas dejaré una pista oculta para quien quiera usarla, y una segunda pasados 3 días si nadie lo ha sacado. Para no spoilear la solución, el foro cuenta con las etiquetas [solucion] [/solucion] entre las cuales la respuesta quedará oculta. Si usáis la pista que dejo, por favor decidlo. Sin más dilación, os dejo con el primer problema:


    PROBLEMA 1 - ÁLGEBRA
    Los coeficientes ,, del polinomio verifican la igualdad . Demostrar que el polinomio tiene al menos dos raíces reales.


    Pista 1:

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    Suerte

    Enlaces a otros problemas:
    Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)
    Año nuevo matemático - Geometría (3/4)
    Año nuevo matemático - Probabilidad (4/4)
    Última edición por angel relativamente; 22/12/2016, 10:53:31. Motivo: Añadir enlaces
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

    Dejo una segunda pista por si alguien lo sigue pensando

    Pista 2:

    Ocultar contenido
    Las raíces complejas (con parte imaginaria no nula) de un polinomio a coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados.
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

    Comentario


    • #3
      Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

      Pasados 6 días dejo la solución prometida. Aun así, el problema sigue abierto para que futuros lectores puedan intentarlo

      SOLUCIÓN:

      Ocultar contenido
      Como las soluciones complejas (con parte imaginaria no nula) aparecen en pares conjugados y el grado del polinomio es par, necesariamente el número de soluciones reales es par por lo que basta ver que tendrá al menos una para saber que tendrá al menos dos. Pero por la condición del enunciado. Eso implica que cambia de signo en , y como es continuo se deduce que tiene un cero en dicho intervalo.
      Última edición por angel relativamente; 12/12/2016, 15:26:16.
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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      • #4
        Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

        Hola Ángel
        Acabo de ver el problema y no he querido mirar la solución para ver si puedo conseguir sacarlo por mí mismo.
        Lo que te quería preguntar es una duda sobre el método a utilizar y es que si es posible demostrar lo requerido mediante:
        Ocultar contenido
        el teorema de Bolzano

        Escrito por angel relativamente Ver mensaje
        Hola a todos. Durante este mes voy a proponer una serie de problemas de matemáticas, con el objetivo de divertir a esta comunidad intentando resolverlos, así como aprender un poco de matemáticas tanto para los curiosos como para aquellos que estén preparándose algún examen tipo olimpiada. Cada 6 días subiré la solución del problema abierto y abriré uno nuevo, completando un total de 4 hasta final de año. Todos los problemas pueden resolverse con conocimientos preuniversitarios y la solución propuesta es relativamente corta.
        En todos los problemas dejaré una pista oculta para quien quiera usarla, y una segunda pasados 3 días si nadie lo ha sacado. Para no spoilear la solución, el foro cuenta con las etiquetas [solucion] [/solucion] entre las cuales la respuesta quedará oculta. Si usáis la pista que dejo, por favor decidlo. Sin más dilación, os dejo con el primer problema:


        PROBLEMA 1 - ÁLGEBRA
        Los coeficientes ,, del polinomio verifican la igualdad . Demostrar que el polinomio tiene al menos dos raíces reales.


        Pista 1:

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        Suerte
        a^2+b^2=c^2

        "The cosmos is all that is, or ever was, or ever will be"- Carl Sagan

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        • #5
          Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

          Hola Penrose, me alegra que lo pienses sin mirar la solución, es un problema bonito.

          Ocultar contenido
          Sí, el teorema de Bolzano se utiliza para resolver el problema. No obstante ten en cuenta que no tienes una función que puedas evaluar para analizar si hay cambio de signo, por lo que tendrás que jugar con la condición que verifican los coeficientes.

          ¡Suerte!
          [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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          • #6
            Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

            Lo primero de todo darte las gracias a ti por plantear el problema y darme algo con lo que estrujarme el coco.
            Sin embargo, veo que voy a tener que ponerme más al día con como trabajar con los coeficientes porque justamente hoy ha sido el primer día en el que me han explicado el método que te planteé (lo que ha sido positivo para conseguir pensar cómo resolver el problema, pero por otro lado voy a tener que trabajarlo algo más para poder intentar resolver el problema).
            Saludos

            Escrito por angel relativamente Ver mensaje
            Hola Penrose, me alegra que lo pienses sin mirar la solución, es un problema bonito.

            Ocultar contenido
            Sí, el teorema de Bolzano se utiliza para resolver el problema. No obstante ten en cuenta que no tienes una función que puedas evaluar para analizar si hay cambio de signo, por lo que tendrás que jugar con la condición que verifican los coeficientes.

            ¡Suerte!
            a^2+b^2=c^2

            "The cosmos is all that is, or ever was, or ever will be"- Carl Sagan

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