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Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

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  • Olimpiada Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

    Con las mismas reglas que el anterior, propongo el segundo de temática "cálculo". Mucha suerte a los que lo intenten

    PROBLEMA 2 - CÁLCULO

    Halla y justifica el valor de



    Pista 1:

    Ocultar contenido
    Intenta calcular el valor de

    Enlaces a los otros problemas:
    Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)
    Año nuevo matemático - Geometría (3/4)
    Año nuevo matemático - Probabilidad (4/4)
    Última edición por angel relativamente; 22/12/2016, 10:56:08. Motivo: Añadir enlaces
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

    Ocultar contenido


    Usando la pista se me ha ocurrido calcular numéricamente:



    Y he reconocido ese valor como probablemente pues es un valor muy común que aparece en la Física, la Química y las Matemáticas. Ahora calculo numéricamente:



    Que ya no reconozco, pero compruebo si ese número pudiese ser . Y resulta que sí parece que lo es.

    Calculo

    Con lo que intuyo que para k=1, 2, 3, ...



    Por lo tanto intuyo que la solución es:



    Pero soy consciente de que no he demostrado nada, seguiré pensando, aunque reconozco que estoy muy, muy oxidado

    Saludos.

    Última edición por Alriga; 12/12/2016, 16:50:27. Motivo: Corregir ortografía
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

      Hola Alriga.
      Es verdad que no está demostrado, pero es una forma ingeniosa de intuir la solución enhorabuena. Saber cuál es el resultado es la mejor pista para abordar el problema por buen camino. Yo he de reconocer que antes de resolverlo por primera vez metí la expresión en el Wolfram, que hace los cálculos con métodos numéricos por mí.
      Si en un par de días nadie ha dado con la solución subo pista adicional
      [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

      Comentario


      • #4
        Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

        Me va a estallar la cabeza de tanto darle vueltas pero voy a seguir intentándolo. La verdad es que nunca había visto una integral tan complicada
        Saludos
        a^2+b^2=c^2

        "The cosmos is all that is, or ever was, or ever will be"- Carl Sagan

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        • #5
          Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

          Ocultar contenido
          Si se deriva se puede obtener facilmente (resolviendo la ecuación diferencial que sale) que la solución es la predicha por Alriga.
          Física Tabú, la física sin tabúes.

          Comentario


          • #6
            Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

            ¡Enhorabuena Sater! esa es la solución más sencilla y bonita. Me alegra que lo hayas sacado.

            Si alguien quiere seguir intentándolo con otro método más "intuitivo",dejo una segunda pista:

            Pista 2:
            Ocultar contenido
            Probar el cambio de variable y luego una integración por partes
            Última edición por angel relativamente; 17/12/2016, 21:16:30.
            [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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            • #7
              Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)

              Dejo la solución detallada para el que le interese:

              Solución 1:
              Ocultar contenido
              Si consideramos la función tenemos que

              Integrando con respecto a tenemos . Pero por lo que y por tanto . En particular y por tanto

              Solución 2:
              Ocultar contenido
              Si hacemos el cambio de variable a la integral obtenemos la integral . Si hacemos ahora una integración por partes, tomando obtenemos

              Con y . Finalmente haciendo el cambio de variable en la integral queda . Por consiguiente . En particular y se concluye que


              ¡Saludos y suerte en los siguientes!
              [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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