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Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

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  • Olimpiada Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

    Con las mismas reglas que los problemas anteriores, damos paso al tercero de la lista con la temática "geometría". ¡Suerte a todos!

    PROBLEMA 3 - GEOMETRÍA

    ¿Es cierto que cubren todo el plano las rectas tangentes a la curva ? ¿Y a la curva ?


    Pista 1:
    Ocultar contenido
    Equivale a ver que dado un punto cualquiera del plano, existe un punto de la curva tal que la recta que pasa por ambos es tangente a la curva

    Enlaces a los otros problemas:
    Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)
    Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)
    Año nuevo matemático - Probabilidad (4/4)
    Última edición por angel relativamente; 22/12/2016, 10:50:42. Motivo: Añadir enlaces
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

    Hola...

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    En este me animo...y con mucha vergüenza te comento que no se como se hace a demostrarlo matemáticamente ,no lo recuerdo,lo hare intuitivamente ya que lo que he intentado no me satisface.

    Los puntos interiores a la parábola osea los que estan por arriba de ella y de cualquier de exponente par no pueden ser unidos por una recta que a la vez sea tangente a la curva, sus tangentes no pueden cubrir todo el plano ,pues siempre van por fuera de la parábola, y en cambioparece que lo cubre ya que tiene un punto de inflexión en el 0 que le permite tener al menos una tangente en cada punto del plano e incluye la Y=0 con x=0

    Facil se ve ya con e por el punto [1,5] si pasa una recta de pendiente como ser no puede coincidir con en un unico punto de tangencia.

    se puede hacer el cambio de variables entonces la función quede como extrayendo las mismas conclusiones.

    En particular ambas tienen la dificultad de representar la recta x=0 ya que implica que



    Última edición por Richard R Richard; 18/12/2016, 13:17:44.

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    • #3
      Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

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      Me atrevo con la primera:





      La ecuación de cualquier recta r tangente a la curva para una abcisa x=a es





      Ahora buscaremos un contraejemplo, es decir demostraremos que existe al menos un punto en el plano por el que no pasa ninguna recta. El punto que elijo es el (0, 1)









      Como el exponente de "a" (2016) es par, será siempre positivo, mientras que -1/2015 es negativo. Luego no existe ninguna abcisa "a" cuya tangente a la curva correspondiente a esa abcisa pase por el punto (0, 1). Luego las tangentes de la curva no cubren todo el plano.

      He intentado segir el mismo procedimiento para intentar demostrar que las tangentes de la función sí cubren el plano, pero me lío, seguiré probando.

      Saludos.
      Última edición por Alriga; 21/12/2016, 15:50:52. Motivo: Añadir coma
      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

      Comentario


      • #4
        Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

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        Hola, tratare demostrarlo para cualquier exponente impar.

        Es posible cubrir el plano con las tangentes a la función si dado un punto arbitrario del plano P(x,y), se puede encontrar la tangente a la curva mencionada en un punto . El objetivo es demostrar que sea cual sea P, existe tal .

        La ecuación de la tangente es:



        Es decir





        Lo cual se trata de encontrar las raices de un polinomio en de grado impar, el cual siempre tiene al menos una raiz real. Por lo tanto para cada punto del plano siempre existe , a partir del cual se puede trazar una tangente de la curva mencionada.

        Saludos
        Carmelo
        Última edición por carmelo; 22/12/2016, 16:43:50.

        Comentario


        • #5
          Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

          Ocultar contenido

          Yo lo veo correcto carmelo, aunque tienes un pequeño gazapo tipográfico al copiar del papel en esta fórmula, (que corriges en la siguiente fórmula):

          Escrito por carmelo Ver mensaje
          Debería ser

          Yo haciendo lo mismo que tú, había llegado a:



          Vi que no podía despejar "a" y fui tan inútil que no supe ver que no es necesario resolverlo, que solo debía haberme dado cuenta de que
          Escrito por carmelo Ver mensaje
          ... se trata de encontrar las raices de un polinomio en "a" de grado impar, el cual siempre tiene al menos una raiz real ...


          Saludos y gracias carmelo: una cosa, no sé si sabes que si deseas ocultar una respuesta puedes escribirla entre los corchetes [solucion] ... respuesta de carmelo ... [/solucion]

          Saludos.
          Última edición por Alriga; 22/12/2016, 17:13:16. Motivo: Ocultar solución
          "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

          Comentario


          • #6
            Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

            Enhorabuena a todos, este lo habéis resuelto al completo con vuestras contribuciones
            En efecto,

            Ocultar contenido
            La forma más simple de llegar a la solución es plantearlo como Carmelo. Dado un punto cualquiera del plano, en mi notación escribiré queremos ver que existe un punto de la curva tal que la recta que los une sea tangente a la curva en dicho punto. Si hallamos dicha recta e imponemos que tenga por pendiente se obtiene que ha de verificar . Lo que pide el enunciado es ver para qué se verifica que el polinomio tiene alguna raíz real independientemente de . Si se obtiene , por lo que sí que depende del punto (la única recta tangente es la propia ). Si es par, sustituyendo en el punto , tal como hace Alriga, se obtiene el polinomio que es estrictamente positivo por lo que no tiene raíces reales. Finalmente para cualquier impar el polinomio es de grado impar y siempre tendrá una raíz real para cualquier .


            ¡Saludos! Y enhorabuena de nuevo
            [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

            Comentario


            • #7
              Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Geometría (3/4)

              Gracias por tus comentarios Alriga!!!! Por las correcciones y lo de contenido oculto sinceramente lo había olvidado (Hace mucho no andaba por aqui).

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