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Diagonalización matrices

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  • 1r ciclo Diagonalización matrices

    Hola, tengo el siguiente ejercicio de diagonalización:

    Sea f: [ la aplicación lineal que respecto de la base B={ (1,0,0) , (1,1,0), (1,1,1) } tiene como matriz asociada



    A=

    a) Estudiar para qué valores de a,b R es f diagonalizable

    b) Para a=0 y b=1 hallar una matriz diagonal D asociada a f y una base de respecto de la cual la matriz de f sea D. Encontrar la matriz P tal que D =

    c) Calcular para los valores de "a" y "b" del apartado anterior.

    Tuve dificultades para plantearlo, acudí a la solución propuesta:

    a) \to B= {(100), (110) , (111)}


    Para hallar los autovalores (x) = = = (2b-x) . Este paso no lo entiendo, ¿qué criterio se usa para sacar como factor común (2b-x)? ¿por la propiedad de los determinantes por la que se podía sacar factor común a una columna o fila?

    continuando = aquí se hace F1 + F2 ¿había que tener alguna precaución al anular filas en los determinantes? = (2b - x) .

    = (2b -x) . (-x) . [a-x+a] = (2b -x) . (-x) . (2a -x)

    x = 2b x2 = 0 y x3 = 2a


    Ahora para estudiar la multiplicidad:

    Si x1=x2 2b=0 b=0

    Si a = 0 y b=0 = 0 o() = 3

    Si a 0 y b=0 = 0 o()=2 = 2a o() =1



    en el segundo caso, si a diferente de 0 y b=0 en el segundo caso = 2a o() =1 aquí la multiplicidad algebraica ¿no sería 2?

    En el segundo caso
    Si x1=x3 2b=2a b=a

    b=a=0 es el anterior caso

    No entiendo el caso Si a=b 0 , b y a siempre valerán 0 ¿no es así?

    = 2b o() =2 ¿no sería 1 la multiplicidad algebraica?
    = 0 o() =1 ¿lambda 2 no sería 2a?






    Gracias y próspero año nuevo
    Última edición por CARLIN; 01/01/2017, 17:18:38.

  • #2
    Re: Diagonalización matrices

    Bueno, yo todavía no he dado diagonalización de matrices, pero te contesto a lo que creo que sí tengo claro.

    Escrito por CARLIN Ver mensaje
    Este paso no lo entiendo, ¿qué criterio se usa para sacar como factor común (2b-x)? ¿por la propiedad de los determinantes por la que se podía sacar factor común a una columna o fila?
    Lo que ha hecho ha sido calcular el determinante por la matriz adjunta (o de cofactores, no sé con qué nombre la conocerás). Así, fijándome en la tercera columna:



    Escrito por CARLIN Ver mensaje
    continuando = aquí se hace F1 + F2 ¿había que tener alguna precaución al anular filas en los determinantes?
    Puedes aplicar Gauss (sumar y restar filas y columnas y sus múltiplos entre sí) y el determinante es el mismo

    No sé hasta qué punto habrás entrado en la definición de determinante. El determinante () es una aplicación bilineal alternada, ( espacio vectorial sobre el cuerpo ) que cumple varias propiedades, como:

    1) Si (es decir, que si se repite un vector - una línea en la matriz -, da cero)

    O también, esta otra propiedad:

    2) . Por ello, por ejemplo, tenemos:




    En el segundo paso he aplicado la propiedad (1), pues y
    En el tercer paso he aplicado la propiedad (2)

    Y si te fijas, lo que he hecho en verdad ha sido restarle la primera fila a la segunda; es decir, aplicar Gauss.

    - - - Actualizado - - -

    PD: Buen año nuevo a ti también
    i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

    \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

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    • #3
      Re: Diagonalización matrices

      Gracias The Higgs Particle, voy a intentar lo de la multiplicidad

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