1r ciclo Planos paralelos conductores

[The Higgs Particle]

Dos planos situados en x = a y en x = -a, paralelos entre sí y paralelos al plano YZ, tienen una corriente superficial uniformemente distribuida. El plano en x=-a, tiene una $\vec j = -k \hat k$; el plano en x=a, tiene $\vec j = k \hat k$. a) Calcula B_x y, b), di si la fuerza es repulsiva o atractiva.

a) Por la ley de Ampère, podemos comprobar que el campo magnético creado por un plano infinito es, para el plano en x=-a, $\vec B_1=- \mu_0 \dst \frac{k}{2} \hat j$ y para el plano en x=a, $\vec B_2 = \mu_0 \dst \frac{k}{2} \hat j$. De forma que entre medias de ambos, el campo magnético neto es cero.

b) Podríamos considerar el plano como un conjunto infinito de conductores de radio despreciable colocados verticalmente. Así, la fuerza que ejercería el plano de x=-a (1) sobre el otro (2) sería:

$\vec F_{1 \to 2} = I_2 (\vec {\dd l_2} \times \vec{ B_1})$

Tomando $\vec{\dd l_2}$ como un vector unitario en la misma dirección que la densidad superficial del plano 2 ($+ \hat k$), tenemos:

$\vec F_{12} =I_2 \mu_0 \frac{k}{2} \hat i$

Que es repulsiva

[Mossy]

Re: Planos paralelos conductores

Primero: en los campos te falta incluir la permeabilidad magnética. Segundo: en el plano x=-a tienes que la corriente superficial va en -Y, por lo tanto por la regla de la mano derecha el campo magnético ha de ir en +Z para el espacio entre los dos planos (no puedes tener campos magnéticos paralelos a las corrientes que los crean).

[The Higgs Particle]

Re: Planos paralelos conductores

Primero: en los campos te falta incluir la permeabilidad magnética. Segundo: en el plano x=-a tienes que la corriente superficial va en -Y, por lo tanto por la regla de la mano derecha el campo magnético ha de ir en +Z para el espacio entre los dos planos (no puedes tener campos magnéticos paralelos a las corrientes que los crean).

Me había equivocado al copiar en la dirección de la densidad de carga del primer plano (en x=-a), puesto que es $\hat k$ y no $\hat j$, perdona

[Mossy]

Re: Planos paralelos conductores

Entonces está correcto.

Para lo de la fuerza, la notación está mal (es una chorrada pero a la vez es importante que uses bien la notación, igual que en el problema de la espira); tienes dos opciones: puedes poner $\displaystyle d\vec{F}=I d\vec{l} \times \vec{B}$ o puedes poner $\displaystyle \vec{F} = I \int d\vec{l} \times \vec{B}$, pero no puedes tener una cantidad "normal" igualada a una expresión diferencial.

Aunque es cierto que es repulsiva, no sé qué has hecho al integrar que la fuerza resultante te queda del estilo $F= I \cdot B$ que no es dimensionalmente correcta. No sé qué métodos has dado para hacer estos problemas, yo estos los resolvía por energías y salía bastante fácil.

[The Higgs Particle]

Re: Planos paralelos conductores

La verdad es que no sé hacerlo de más formas, ni tan siquiera por energías

Tomo que la intensidad de corriente de un hilo de longitud $l_2$ del segundo plano, en x=a, es: $I_2 = \lambda l_2 = k l^2_2$, donde $\lambda = j \cdot l_2$; es decir, es la densidad lineal de carga.

Entonces:

$F_{12} = \dst I_2 l_2 B_1 = \left(k \cdot l^2_2 \right) l_2 \left( \mu_0 \frac{k}{2}\right) = \mu_0 \frac{ k^2 \cdot l_2^3}{2}$

Que dimensionalmente sale $N/m$, pero no newtons

[Mossy]

Re: Planos paralelos conductores

Es que para calcular la fuerza necesitas considerar cierta superficie S del plano, no puedes calcular la fuerza total entre los planos así sin más pues son infinitos. La fuerza me sale que es $\displaystyle F = \mu _0 K^2 S$, considerando cierta superficie efectiva S . Podrías calcular la presión dividiendo por la superficie, pero la fuerza te depende de la superficie que consideres (tiene sentido).

Como sólo te piden que digas si es atractiva o repulsiva, simplemente necesitarás saber el unitario que acompaña a la fuerza (olvidándote de cuánto vale ésta). Puedes razonarlo haciendo el producto vectorial de los unitarios

$\displaystyle \vec{F_{12}}= I_2 \int \vec{dl_2} \times \vec{B_1} =I_2 \int dl_2 (\hat{z}) \times B_1 (-\hat{y})= I_2 \int B_2 (\hat{z} \times -\hat{y} ) dl_2<br />$
Sabiendo que $\hat{z} \times -\hat{y} = \hat{y} \times \hat{z} = \hat{x}$ ya has demostrado que la fuerza es repulsiva. Y no necesitas hacer la integral porque los versores en cartesianas son constantes (nunca hagas esto en cilíndricas o esféricas).

Saludos