Divulgación Ley de Gauss

[danielandresbru]

Hola, estaba intentando calcular el flujo de campo de eléctrico sobre una superficie esférica pero uando el teorema de la divergencia, pero no sé en donde está mi error.

Supongase una carga puntual ubicado en el origen de un sistema de coordenadas y hallar el flujo de campo eléctrico en una superficie esférica de radio R y con centro en el origen de coordenadas.

Por la Ley de Gauss se tiene que $\displaystyle \oint \vec{E} \cdot \dd \vec{s} = \frac{Q}{\epsilon_0}$

Pero quería demostrarlo de otra forma.

Se tiene que por el teorema de la divergencia $\displaystyle \oint_{\partial V} \vec{E} \cdot \dd \vec{s} = \int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \\ \dd V$

El campo Eléctrico es $\vec{E}(x,y,z)= \displaystyle \frac{KQ}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}} (x \hat{i}+y \hat{j} +z \hat{k} )$.

Pero entonces resulta que al hacer la divergencia de $\vec{E}$ sale $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0$, pero por la Ley de Gauss en su forma diferencial me debería dar $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon_0}$.

No se que es lo que tengo mal. Agradecería mucho si me ayudaseis a saber en donde está mi error.


Gracias de antemano

[Al2000]

Re: Ley de Gauss

No tienes nada mal, simplemente no sabes interpretar lo que has obtenido. El campo que escribes es el campo creado por la carga puntual en cualquier punto del espacio vacío. Al tomar la divergencia, que es una propiedad de cada punto del espacio, te dará naturalmente cero, pues es espacio vacío. Nota que solamente existe carga en el origen de coordenadas, en donde la expresión que has escrito no es válida.

Comprueba lo que te digo calculando la divergencia del campo eléctrico en el interior de una distribución de carga, por ejemplo, el interior de una esfera uniformemente cargada, $\dst \boldsymbol E = \frac {\rho \boldsymbol r}{2 \epsilon_0}$ y verás la diferencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[pod]

Re: Ley de Gauss

De hecho, si utilizas unas matemáticas un poco más avanzadas, verás que la divergencia de tu resultado no es cero, sino que es una delta de Dirac.

La delta de Dirac es un objeto matemático que llamamos distribución, o función generalizada. Si la intentamos interpretar como su fuera una función normal diríamos que es una función que es cero en todas partes excepto en el origen en que su valor tiende a infinito, pero de forma que la integral

$$\int_{-\epsilon}^\epsilon\dd x\ \delta(x) = 1.$$

O, más general,

$$\int_{-\epsilon}^\epsilon\dd x\ f(x) \delta(x) = f(0).$$

Fíjate que como la delta es nula para cualquier $x\neq 0$ podemos extender esa integral a todos los números reales (de menos infinito a infinito).

En tu caso, la densidad de carga es cero en todo el espacio excepto en una superficie esférica de radio R, con densidad superficial $\sigma$. Fíjate que una superficie esférica tiene volumen cero, así que técnicamente la densidad volumétrica de carga es infinito: justo como pasa con la delta. En tu caso, la densidad volumétrica deberia ser algo del estilo

$$\rho(\vec r) = \sigma \delta(r-R) .$$

Como decíamos, cuando r=R el argumento de la delta tiende a infinito (y en cualquier otro lugar es cero). Justo como tiene que pasar. Además, la propiedad de la integral de la delta nos permite recuperar la carga total:

$$\begin{aligned}<br /> Q &= \int \dd^3 r \ \rho \\<br /> & = \iiint r^2 \sin\theta \dd r \dd\theta \dd\phi\ \sigma \delta(r-R) \\<br /> & = \sigma \int_0^\infty \dd r\ r^2 \delta(r-R) \int_0^\pi \dd \theta\ \sin\theta \int_0^{2\pi} \dd\phi \\<br /> & = \sigma ( R^2 ) (2) (2\pi) \\<br /> & = 4 \pi R^2 \sigma .<br /> \end{aligned}$$

Que es justo lo que esperarías en el caso de una distribución de carga superficial.