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Proyección ortogonal

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  • 1r ciclo Proyección ortogonal

    Hola, tengo este ejercicio y no consigo que me den cosas coherentes

    Sea una base ortonormal en , he de demostrar que la aplicación lineal es una proyección sobre la recta para . Y su matriz asociada es:




    Llamo a la proyección de un vector sobre la recta de la forma:



    Como:

    donde complemento ortogonal del subespacio generado por la recta

    Aplicando las propiedades de bilinealidad, la expresión anterior es equivalente a:


    De forma que:

    =

    Como es una base ortonormal:


    De forma que, imponiendo esta condición en la matriz que me habían dado, obtengo que


    El vector base de la recta r es: , de forma que

    Entonces:
    =
    De donde:
    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

    \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

  • #2
    Re: Proyección ortogonal

    No veo clara tu duda.
    Por otra parte, ¿te piden demostrar?, ¿te dan la recta?
    Lo digo porque otra forma que puedes hacer es, coger una base con un vector en la misma dirección con la recta y hacer un cambio de base.

    Otra opción es calcular autovalores, y ver que un autovector de autovalor 1 cumple que:
    Última edición por alexpglez; 25/02/2017, 20:32:31.
    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

    Comentario


    • #3
      Re: Proyección ortogonal

      Nada, he encontrado la solución y básicamente hay que utilizar las aplicaciones autoadjuntas.
      Es decir, en este caso demostrar que , donde es la matriz que puse en el enunciado.
      i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

      \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

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