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Apilación cociente (topología)

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  • Secundaria Apilación cociente (topología)

    Estoy estudiando la Topología de Munkres y encuentro un ejemplo que no logro entender (§22):

    Definición. Sean y espacios topológicos. Sea una aplicación sobreyectiva. La aplicación es una aplicación cociente siempre que un subconjunto de es abierto en si y solo si es abierto en .
    [...]
    Ejemplo 1. Sea el subespacio de , y el subespacio de . La aplicación definida por



    se ve inmediatamente que es sobreyectiva, continua y cerrada. Por tanto, es una aplicación cociente. Sin embargo, no es una aplicación abierta ya que la imagen del conjunto abierto de no es abierta en .

    Obsérvese además que si es el subespacio de ; entonces la aplicación , obtenida al restringir , es continua y sobreyectiva, pero no es una aplicación cociente. en efecto, el conjunto es abierto en y saturado con respecto a , pero su imagen no es abierta en .
    Mi duda es la siguiente: según yo lo entiendo, lo último que se dice de se aplica también a ; o sea, el conjunto es abierto en y saturado con respecto a , pero su imagen no es abierta en , por lo que no entiendo por qué esto hace que no sea una aplicación cociente, pero permite que sí lo sea.

    Por otra parte, ateniéndonos a la definición de aplicación cociente, no encuentro que la preimagen de un subconjunto abierto de no sea abierta en , por lo que no veo por qué no es una aplicación cociente.
    Última edición por Jaime Rudas; 26/02/2017, 18:28:51. Motivo: Corregir palabra

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