1r ciclo Multiplicadores de Lagrange

[Enrique Ortiz Martinez]

Encuentre los valores extremos de f(x,y,z) = ${x}^{2 }$ + ${y}^{2 }$ + ${z}^{2 }$, sujeta a la restriccion:

${x}^{2 }$ +$\frac{{y}^{2 }}{4 }$ - $\frac{{z}^{2 }}{9 }$ +1 = 0

Este es mi procedimiento

$\nabla$f = 2x, 2y, 2z

$\nabla$g = 2x, $\frac{y}{2 }$, - $\frac{2z}{9 }$

$\nabla$f= $\lambda$ $\nabla$g

1) 2x = $\lambda$ 2x

2) 2y = $\lambda$ ($\frac{y}{ 2}$)

3) 2z = $\lambda$ ($\frac{-2z}{ 9}$)


4) ${x}^{2 }$ +$\frac{{y}^{2 }}{4 }$ - $\frac{{z}^{2 }}{9 }$ +1 = 0

Pero de ahi ya no se que hacer, si despejo cualquiera de las tres ecuaciones me quedan en términos de $\lambda$ y no puedo sustituir en mi restriccion

[Alriga]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Encuentre los valores extremos de $f(x,y,z) ={x}^{2 } + {y}^{2 } + {z}^{2 }$, sujeta a la restricción:

${x}^{2 } +\dfrac{{y}^{2 }}{4 } - \dfrac{{z}^{2 }}{9 } +1 = 0$

$L(x,y,z)=f(x,y,z)+\lambda \ g(x,y,z)$

$L=(x^2+y^2+z^2)+\lambda \ (x^2+\dfrac{y^2}4-\dfrac{z^2}9+1)$

$\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$

$$x(1+\lambda)=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial y}=0$

$$y(4+\lambda)=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial z}=0$

$$z(9-\lambda)=0$$

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0$

$$x^2+\dfrac{y^2}4-\dfrac{z^2}9+1=0$$

a) De (1) si $\lambda=-1$ de (2) y=0 de (3) z=0 de (4) $x=\sqrt{-1}$ Por lo tanto no hay solución real.

b) De (2) si $\lambda=-4$ de (1) x=0 de (3) z=0 de (4) $y=\sqrt{-4}$ Por lo tanto no hay solución real.

c) De (3) si $\lambda=9$ de (1) $x=0$ de (2) $y=0$ de (4) $z=\pm \sqrt 9=\pm 3$ Que es el único grupo de soluciones reales. Por lo tanto los dos puntos de $\mathbb R^3$ que cumplen son:

(0, 0, -3) y (0, 0, 3)

Saludos.