1r ciclo Péndulo simple

[Enrique Ortiz Martinez]

Considere un péndulo simple (la lenteja es una masa puntual) de 0.50 m de longitud con una Q=350

a) ¿Cuanto tiempo se requiere para que la amplitud disminuya en dos tercios?

b) Si la amplitud es de 2 cm y la lenteja tiene masa de 0.27 kg, ¿cual es la tasa de la perdida de energía inicial del péndulo en watts?

c) Si se va a estimular la resonancia, con una fuerza impulsora senoidal, ¿que tan cerca debe estar la frecuencia impulsora de la frecuencia natural del péndulo (de $\Delta$f= f-${f}_{ 0}$)



Mis dudas que tengo es que es factor Q, y como se relaciona la frecuencia angular de la amplitud con la energía

[Richard R Richard]

Re: Péndulo simple

Me limito a darte las definiciones que hace la wikipedia....
https://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico


Oscilador armónico amortiguado

Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.
Es el caso de rozamiento s secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una Potenciación|potencia , entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámica s. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

$F_f=-bv=-b{dy\over dt}$

Donde $\scriptstyle{b}$ es un coeficiente de rozamiento|coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si $\scriptstyle{b}$ es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección superior opuesta a la velocidad de la partícula. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

$m{d^2y\over dt^2}=-ky-b{dy\over dt}$

Se trata de una ecuación diferencial ecuación diferencial ordinaria|ordinaria , ecuación diferencial lineal|lineal , de segundo orden<ref>Simmons, capítulo 3</ref> (contiene derivadas segundas) y ecuación diferencial homogénea|homogénea (no hay término independiente de $y$). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de $\scriptstyle{b^2-4km}$

• Si $\scriptstyle{b^2-4km > 0}$ el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
• Si $\scriptstyle{b^2-4km = 0}$ el sistema tiene amortiguamiento crítico.
• Si $\scriptstyle{b^2-4km < 0}$ el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

$y = A_1e^{\lambda_1 t}+ A_2e^{\lambda_2 t}$

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

$\lambda_1={-b -\sqrt{b^2-4km} \over 2 m}$

y

$\lambda_2={-b +\sqrt{b^2-4km} \over 2 m}$

$\scriptstyle{A_1}$ y $\scriptstyle{A_2}$ dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para $\scriptstyle{t = 0}$).

La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asíntota|asintótica . Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña $\scriptstyle{1/\lambda_1}$ y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda $\scriptstyle{1/\lambda_2}$ es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.


Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

$b^2=4km\,$

La solución única es:

$y = A_1e^{-{b\over 2m}t}+ A_2te^{-{b\over 2m}t}$

como antes, $\scriptstyle{A_1}$ y $\scriptstyle{A_2}$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).


Oscilador con amortiguamiento débil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.
En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

$b^2<4km\,$

La solución es:

$y = Ae^{-{b\over 2m}t}\cos(\omega t + \phi)$

como antes, $\scriptstyle{A}$ y $\scriptstyle{\phi}$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

$\omega= \sqrt{{k\over m}-\left({b\over 2m}\right)^2}$

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado $\scriptstyle{\omega_\circ= \sqrt{{k\over m}}}$ porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia $\scriptstyle{f= {1\over 2\pi}\sqrt{{k\over m}-\left({b\over 2m}\right)^2}}$ cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es $\scriptstyle{\tau={2m\over b}}$.


Factor de calidad $Q$

En un sistema poco amortiguado es interesante definir el 'factor de calidad' ('Quality factor' en inglés) o simplemente $Q$ como:

$Q={\sqrt{km}\over b}$

esta cantidad es igual a $2\pi$ veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un '''Q''' de 628. Más interesante, '''Q''' es también $\textstyle{\pi}$ veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor $\textstyle{e}$. Si se puede aceptar una aproximación más grosera, '''Q''' es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.



Con estas definiciones , que sirven para este y otros post que he visto te comento que lo que debes considerar es a este sistema de péndulo como un Oscilador con amortiguamiento débil

suponer que el sistema llega a $\dfrac 13$ de la amplitud original cuando se tiene un maximo es decir considerando que $\cos(\omega t + \phi) =1$

con el valor de $Q$ puedes calcular $b$ y ver si es correcta esta suposición de Oscilador con amortiguamiento débil .

y si es correcto de $y =\dfrac A3 = Ae^{-{b\over 2m}t}$ puedes calcular el tiempo t.