1r ciclo Potencial eléctrico generado por una esfera cargada uniformemente

[setiq]

Buenas, soy nuevo y este es mi primer mensaje. Espero podais ayudarme. Gracias.

Estoy en mi primer año de Física y me doy cuenta de que estoy un poco (bastante, según el tema) oxidado en matemáticas y no comprendo cómo se llega a un resultado en un ejemplo.
El ejemplo trata del potencial eléctrico generado por una esfera cargada uniformemente (Tipler, Mosca 6ªed. Ejemplo 23.12) y dice:

Asumimos que un protón es como una esfera cargada de radio R y carga Q distribuida uniformemente. El campo eléctrico dentro de la esfera viene dado por ${E}_{r}=k{Q}/{{R}^{3 }}$. Determinar el potencial V generado dentro y fuera de la esfera.

Entiendo que fuera de la esfera el campo eléctrico es el mismo que si toda la carga estuviese concentrada en su centro. Y que tomando el potencial cero en el infinito, la expresión de potencial sea la misma que la de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

$V(r)=kQ/r$ $(r\geqslant R)$

Para $r \leqslant R$, determinamos $dV$ a partir de $dV=-\vec{E}d\vec{l}=-kQr/R^3\hat{r}d\vec{l}=kQr/R^3dr$.

Y para determinar el potencial calculamos la integral definida desde el infinito hasta un punto arbitrario P situado en el interior de la esfera $({r}_{p}<R)$

$V_p=-\int_{\infty}^{r_p}E_r dr = -\int_{\infty}^{R}kQ/r^2 dr -\int_{R}^{r_P} kQr/R^3dr = kQ/R - kQ(r_P^2-R^2)/2R^3$

Y ahora viene la parte que no comprendo. ¿Cómo el resultado anterior es igual a $= kQ(3-r_P^2/R^2)/2R$?

Agradecería mucho que alguien pueda ayudarme a comprenderlo.

Gracias a los que me hayais leído y perdonadme por mi falta de experiencia en LaTeX.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial eléctrico generado por una esfera cargada uniformemente

Si "sacas" factor común $\dst \frac {k Q}{2R}$ te queda

$$V_P = \frac {k Q}{2 R}\left(2 - \frac {r_P^2 - R^2}{R^2}\right)$$

¿Puedes seguir?

Saludos,

$\mathcal A \ell$