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Problema de parábola

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  • Secundaria Problema de parábola

    [FONT=Roboto]Hola, agradecería ayuda para este problema.[/FONT]
    [FONT=Roboto]Tenemos una parábola f(x)= x^2 con dos rectas tangentes, t y t´, en los puntos, respectivamente A y B. Las rectas tangentes se cortan en un punto C. La mediana del triángulo ABC correspondiente a C tiene longintud m. Determinar el área de ABC en función de m.[/FONT]
    [FONT=Roboto]Yo he llegado a la conclusión de que A(a, a^2), B(b, b^2), así que, mediante derivación (para la pendiente)podemos hallar que las ec. de la recta son respectivamente y= 2ax-a^2; y=2bx-b^2. Sin embargo, no sé seguir y agradecería que alguien me lo explicase. Gracias![/FONT]

  • #2
    Re: Problema de parábola

    Hola Alofre, resolví este problema en su día, pero como había mucho LaTeX que picar y un dibujo que hacer, lo dejé para el fin de semana. Pero se me traspapeló el papel con la solución y me olvidé. Hoy por casualidad he encontrado el papel, espero que aunque tarde, la respuesta aún pueda tener alguna utilidad.

    Las coordenada de los puntos A y B de la parábola son:





    El punto C por estar en las dos rectas tangentes de pendientes y cumplirá estas 2 ecuaciones:



    Combinando ambas, (1) y (2):



    Simplificando:


    Esto es importante: acabamos de demostrar que la abcisa del punto C está a medio camino entre las de A y B. Como el punto M de la mediana también estará a medio camino entre A y B por definición, el punto M está situado en la vertical del punto C y el dibujo queda así, en rojo la parábola y en azul la mediana

    Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Parabola-mediana.png Vitas:	1 Tamaño:	22,4 KB ID:	304134

    Sustituyendo (3) en (1) y operando se obtiene la ordenada del punto C:



    La abcisa y la ordenada del punto M, por definición:





    Por ser vertical, la mediana cumple:



    Sustituyendo:



    Resolviendo la ecuación de 2º grado:



    Sin pérdida de generalidad, si estamos en la rama derecha de la parábola y elegimos como punto A el de menor abcisa:



    Nos piden hallar el área del triángulo ABC. Aplicaremos la propiedad de que la mediana divide un triangulo en 2 triángulos de áreas iguales: hallaremos el área del triángulo AMC y multiplicaremos por 2. Usaremos la Fórmula de Herón. Las coordenadas de los tres puntos







    La distancia , hay que calcular las otras 2 distancias y aplicando la definición de distancia = módulo del vector diferencia. Si no me equivoco en las operaciones me sale:





    Calculamos el semiperímetro del triángulo AMC:



    Y el área del triángulo ABC en función de m, que es lo que pide el enunciado es:



    Solo queda el trabajo mecánico de sustituir por las expresiones que hemos hallado en función de m y de

    No sé si hay algún camino más fácil, a mí no se me ha ocurrido.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 04/06/2020, 15:09:56. Motivo: Reparar LaTeX para que se vea en vB5
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: Problema de parábola

      Estimado Alriga personalmente ya se me había olvidado la existencia de este problema que encontré en un libro de retos de matemáticas, puesto que todo el mundo a quien pregunté no tenían ni idea de como resolverlo... creo que es hora de que vuelva a verlo!!
      Muchísimas gracias por todo!!

      Comentario

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