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Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

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  • 1r ciclo Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

    Hola, me piden calcular la fórmula del volumen de una bola de dimensión 4, , y radio por el principio de Cavalieri, pero no consigo llegar a la ecuación que debería tener.

    Supongamos que la hiperesfera está centrada en el origen. Por el principio de Cavalieri, (que representa la altura -eje Z - desde el hiperplano de referencia) es cero. Y, al mismo tiempo, (que representa la altura total del sólido medida desde el origen nuevamente) es igual a R. Así, tendría, según la formulación del principio que aparece en el Mardsen y Tromba:


    Yo sustituí:

    Pero no llegué a nada concluyente. Creo que mi fallo está en cómo está formulado el principio en el libro. Es decir, creo que está aplicado para sólidos de , donde el volumen del espacio de dimensión menor () es el área. Por ello, en este caso, para calcular el volumen de un cuerpo de tendría que emplear el volumen de :


    Pero tengo dudas en si esto es así y en cuáles son los límites de integración
    i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

    \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

  • #2
    Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

    Mira a partir de la página 23 y siguientes de From Wallis’ formula to the Gaussian distribution and beyond a ver si te ayuda.

    También aquí, nuestro compañero Angel Relativamente calcula en su blog el volumen de la hiperesfera: http://forum.lawebdefisica.com/entri...s-hiperesferas

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 13/05/2017, 11:59:41. Motivo: Ampliar información
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

      Gracias, o sea, que estaba bien cómo he modificado Cavalieri pero he fallado en los límites de integración (yo los había supuesto de 0 a R y van de -R a R)

      Escrito por Alriga Ver mensaje
      Mira a partir de la página 23 y siguientes de From Wallis’ formula to the Gaussian distribution and beyond a ver si te ayuda.

      También aquí, nuestro compañero Angel Relativamente calcula en su blog el volumen de la hiperesfera: http://forum.lawebdefisica.com/entri...s-hiperesferas

      Saludos.
      i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

      \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

      Comentario


      • #4
        Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

        Hola, en la fórmula que utilizas de , ¿de dónde sacas el 4? Sería y con eso, al integrar entre 0 y R, te queda el volumen de la semiesfera.

        Escrito por The Higgs Particle
        Gracias, o sea, que estaba bien cómo he modificado Cavalieri pero he fallado en los límites de integración (yo los había supuesto de 0 a R y van de -R a R)
        Pero en el caso de , si tomas directamente los límites -R y R obtienes el volumen de la esfera y no el de la semiesfera.


        Para el ejercicio, piensa lo siguiente. Tienes 4 ejes que llamaré . Si la bola la centras en el origen, claramente los ejes cortan a la bola en y (para cada eje). Si nos movemos en el eje , la sección de la bola con el hiperplano , con , será la esfera de centro y radio . En efecto, la bola de centrada en el origen es el conjunto definido por , por lo que el corte con el hiperplano nos da la región que es una bola de dimensión 3 (restringidos al hiperplano) con el radio que hemos dicho. Si integras entre -R,R (), obtienes el volumen de la bola. Si integras entre 0 y R, obtendrás el de la semibola, tal como ocurre en .

        Saludos,
        [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

        Comentario


        • #5
          Re: Volumen bola de dimensión 4 - Cavalieri

          Escrito por angel relativamente Ver mensaje
          Hola, en la fórmula que utilizas de , ¿de dónde sacas el 4? Sería y con eso, al integrar entre 0 y R, te queda el volumen de la semiesfera.



          Pero en el caso de , si tomas directamente los límites -R y R obtienes el volumen de la esfera y no el de la semiesfera
          Sí, es que por alguna razón se me fue la cabeza y hice mal el dibujo de una esfera (que fue lo que luego extrapolé)


          Escrito por angel relativamente Ver mensaje
          Para el ejercicio, piensa lo siguiente. Tienes 4 ejes que llamaré . Si la bola la centras en el origen, claramente los ejes cortan a la bola en y (para cada eje). Si nos movemos en el eje , la sección de la bola con el hiperplano , con , será la esfera de centro y radio . En efecto, la bola de centrada en el origen es el conjunto definido por , por lo que el corte con el hiperplano nos da la región que es una bola de dimensión 3 (restringidos al hiperplano) con el radio que hemos dicho. Si integras entre -R,R (), obtienes el volumen de la bola. Si integras entre 0 y R, obtendrás el de la semibola, tal como ocurre en
          Sí, conseguí hacerlo. No me salía porque estaba integrando de 0 a R y, claro, me quedaba en vez de partido por 2 (que, incluyendo el -R como límite de integración, es: )
          i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

          \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

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