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Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

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  • 1r ciclo Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

    [FONT=Calibri]Hola, no tengo claro cómo demostrar lo que pide el siguiente ejercicio:

    Dos partículas de masa m están unidas por un hilo sin masa y de longitud l a través de un orificio en el centro de una tabla horizontal. Una de las masas desliza sin rozamiento sobre la tabla, mientras que la otra cuelga por debajo, desplazándose verticalmente. Hallar el radio [FONT=Calibri][/FONT] tal que la masa que desliza describa un movimiento circular y demostrar que, si se le aplica un pequeño impulso radial, oscilará armónicamente alrededor del radio inicial [FONT=Calibri][/FONT] de la trayectoria circular.

    [/FONT]He hallado la ecuación diferencial del movimiento:
    [FONT=Calibri]
    Y que el radio necesario para que la órbita sea circular es:
    [/FONT]

    [FONT=Calibri]Pero no veo cómo hacer para demostrar lo que se pide. ¿Podría alguien darme alguna indicación?

    Gracias
    [/FONT]

  • #2
    Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

    Hola. Lo que debes demostrar es que ese radio es el de una órbita de equilibrio estable. Puedes hacerlo considerando la energía del sistema.
    Inténtalo. Falla, y falla mejor.
    Samuel Beckett.

    Comentario


    • #3
      Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

      Hola:

      La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos masas:



      La energía cinética de la masa sobre la mesa (m1), esta dada por:



      La energía radial es:



      La velocidad lineal en esta dada por



      y la energía cinética correspondiente sera:



      Por lo cual la energía cinética de m1 es:



      y teniendo en cuenta que , la energía cinetica de m2 es:



      y la energía cinética total es:



      La energía potencial total es:



      Con el origen del SR sobre la mesa resulta que:







      y la energía potencial total es:



      El lagrangiano del sistema resulta:





      Como en el problema se cumple que , resulta:

      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

      Aplicamos la 1er ecuación de Lagrange:



      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

      De donde resulta la 1º ecuación diferencial:


      Aplicamos la 2da ecuación de Lagrange:


      [FONT=Verdana]
      [/FONT]
      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

      De donde resulta la 2da ecuación diferencial:


      Si consideramos que r = r0 = cte. resulta:



      La ecuación (1) queda:



      y la ecuacion (2) resulta:


      Que es la ecuación buscada de r0.

      Mañana lo sigo.

      s.e.u.o.

      Suerte!!!

      PD: creo que no mencione en ningún lado que use coordenadas cilíndricas con el origen en el agujero que atraviesa la mesa, y con el semieje positivo de z (z+) hacia arriba. Disculpas.

      Suerte!
      No tengo miedo !!! - Marge Simpson
      Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

      Comentario


      • #4
        Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

        Puedes usar teoría de perturbaciones

        Comentario

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