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Suma directa de subespacios

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  • 2o ciclo Suma directa de subespacios

    Hola a todos! Leyendo mi libro de álgebra lineal me surgió una duda con una parte de la demostración de la siguiente Proposición:

    Supongamos que y son subespacios de . Luego si y sólo si y .

    Demostración: (escribo solamente la implicación que no entiendo bien)

    Supongamos que y que . Para probar que , supongamos que



    Donde y . Para completar la demostración, sólo necesitamos demostrar que (por Prop. 1.8). La ecuación anterior implica que . Thus (así) , and hence (y por tanto) (*). Esto, con la ecuación anterior, implica que , completando la prueba.
    Donde la Proposición citada es:

    Prop. 1.8: Supongamos que son subespacios de . Luego si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
    (a) ;
    (b) la única manera de escribir el como una suma , donde cada , es tomando todos los 's igual a .
    Mi duda me surge en la oración con asterísco, no entiendo cómo se concluye de la intersección que . Aclaro que el libro está en inglés y agregué las palabras en inglés originales del texto ya que tal vez estoy interpretando mal su significado.

    Muchas gracias de antemano.
    Última edición por Gottfried; 27/06/2017, 16:25:46. Motivo: Agregar color para resaltar la oración.

  • #2
    Re: Suma directa de subespacios

    Escrito por Gottfried Ver mensaje
    Mi duda me surge en la oración con asterísco, no entiendo cómo se concluye de la intersección que .
    Hola. La demostración de esa implicación empieza diciendo "Supongamos que y que ". Luego sigue y demuestra que que junto con implican . Supongo que has leído rápido y no has visto que la intersección entre y solo contiene el vector nulo por hipótesis y por tanto cualquier vector en la intersección es necesariamente el cero.
    Última edición por Weip; 27/06/2017, 18:05:37.

    Comentario


    • #3
      Re: Suma directa de subespacios

      Escrito por Weip Ver mensaje
      Supongo que has leído rápido y no has visto que la intersección entre y solo contiene el vector nulo por hipótesis y por tanto cualquier vector en la intersección es necesariamente el cero.
      Eso es exactamente lo que sucedió, muchas gracias!

      Comentario

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