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Potencia de una matriz

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  • 1r ciclo Potencia de una matriz

    Hola. Veamos el siguiente ejercicio:

    Determine siendo:




    (Sugerencia: B es la suma de una matriz diagonal y una nilpotente)

    Bien, si la matriz diagonal fuera constante, yo sé que este tipo de matrices conmuta con cualquier otra (siempre que el producto sea posible). En este caso, se podría utilizar el Binomio de Newton, además, teniendo en cuenta que la nilpotente es de orden 3, es decir, que esta matriz elevada a un número mayor o igual a 3, es nula.
    Sin embargo, en este caso las matrices no conmutan y no se me ocurre cómo calcular B^5 sin hacer mil operaciones.

    Es importante dejar claro que en el ejercicio, que es extraído de un libro, no se pueden utilizar diagonalizaciones ni nada por el estilo, ya que, en teoría aún no se ha mencionado ninguna técnica semejante.

    Saludosss!!
    "Sólo nos asquea la vanidad de otros cuando ésta asquea a nuestra propia vanidad". Nietzsche

  • #2
    Re: Potencia de una matriz

    Hola, buenas

    Se me ocurre descomponer, tal y como se te sugiere la matriz en dos matrices y :





    Y escribir entonces:



    De modo que calculas una vez y sustituyes en la expresión de arriba.

    Sin usar diagonalización ni cosas así, no se me ocurre otra forma más rápida, pero creo que es menos engorroso que calcular la matriz directamente.

    No sé si te habrá ayudado algo.

    Un saludo
    Última edición por Lorentz; 13/07/2017, 21:04:17.
    [FONT=times new roman]"An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."
    [/FONT]

    [FONT=times new roman]"When one teaches, two learn."[/FONT]

    \dst\mathcal{L}_{\text{QED}}=\bar{\Psi}\left(i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right)\Psi

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    • #3
      Re: Potencia de una matriz

      Hola Lorentz. La solución que planteas está bien. Pero la sugerencia incluida en el enunciado me da a entender que se puede aprovechar el hecho de que C es nilpotente de orden 3. No sé. Igual me como mucho la bola, jaja.

      Gracias y un saludo!!
      "Sólo nos asquea la vanidad de otros cuando ésta asquea a nuestra propia vanidad". Nietzsche

      Comentario


      • #4
        Re: Potencia de una matriz

        Hola Alriga. Hay algo que no entiendo. Tenía entendido que la fórmula del binomio de Newton para matrices solo era aplicable a matrices que conmutan, y A y C no conmutan. El caso es que tu resultado es correcto. ¿Qué es lo que he entendido mal?

        Saludos
        "Sólo nos asquea la vanidad de otros cuando ésta asquea a nuestra propia vanidad". Nietzsche

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        • #5
          Re: Potencia de una matriz

          Escrito por Take It Easy Ver mensaje
          ... Tenía entendido que la fórmula del binomio de Newton para matrices solo era aplicable a matrices que conmutan, y A y C no conmutan ...
          Tienes razón, me había liado en los cálculos olvídalo y perdona.
          Saludos.
          "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

          Comentario


          • #6
            Re: Potencia de una matriz

            No lo puedo olvidar pues tu resultado es correcto!!!
            "Sólo nos asquea la vanidad de otros cuando ésta asquea a nuestra propia vanidad". Nietzsche

            Comentario


            • #7
              Re: Potencia de una matriz

              Escrito por Take It Easy Ver mensaje
              No lo puedo olvidar pues tu resultado es correcto!!!
              Sí, el resultado final era la 5ª potencia correcta de la matriz B, pero no salía del binomio de Newton que lleva a otro resultado, lo había calculado directamente ayer y esta mañana me he levantado espeso y lo he mezclado todo, un completo desastre, perdona,

              Saludos.
              "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

              Comentario


              • #8
                Re: Potencia de una matriz

                Ah ok. jajaja. Ya pasa.

                Saludos.
                "Sólo nos asquea la vanidad de otros cuando ésta asquea a nuestra propia vanidad". Nietzsche

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