Resultados 1 al 5 de 5

Hilo: Ecuación de movimiento de una cicloide

  1. #1
    Registro
    Aug 2017
    Posts
    2
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    0 (0 msgs.)

    Predeterminado Ecuación de movimiento de una cicloide

    Buenas, me gustaría que alguien me ayudara a ver si he hallado correctamente la ecuación de movimiento de una partícula sobre una cicloide, con las siguientes ecuaciones, mediante formulación lagrangiana:

    x=R(\phi-sen\phi)

    y=R(1-cos\phi)

    He expresado el Lagrangiano como:

    L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^{2}+{\dot{y}}^{2})-mgy

    L=\frac{1}{2}m{R}^{2}{\dot{\phi}}^{2}({(1-cos\phi)}^{2}+{sin}^{2}\phi)-mgR(1-cos\phi)

    L=\frac{1}{2}m{R}^{2}{\dot{\phi}}^{2}(1+{cos}^{2}\phi-2cos\phi+{sin}^{2}\phi)-mgR(1-cos\phi)

    L=m{R}^{2}{\dot{\phi}}^{2}(1-cos\phi)-mgR(1-cos\phi)

    L=m{R}^{2}(1-cos\phi)({\dot{\phi}}^{2}-g)

    Y de ahí he sacado la única ecuación de Euler-Lagrange posible, al haber solo una coordenada generalizada en el sistema, llegando así a:

    \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}})-\frac{\partial L}{\partia...

    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(2m{R}^{2}(1-cos\phi)\dot{\phi})-mRsin\phi({\dot{\phi}}^{2}-g)=0

    2m{R}^{2}{\dot{\phi}}^{2}sen\phi+2m{R}^{2}(1-cos\phi)\ddot{\phi}-mRsen\phi({\dot{\phi}}^{2}-g)=0

    R{\dot{\phi}}^{2}sen\phi+R(1-cos\phi)\ddot{\phi}-\frac{1}{2}sen\phi({\dot{\phi}}^{2}-g)=0

    sen\phi({\dot{\phi}}^{2}(R-\frac{1}{2})+\frac{g}{2})+R\ddot{\phi}(1-cos\phi)=0

    Y esa es la ecuación del movimiento que he hallado. Aparte, el ejercicio que me lo pedía, también me pide integrar la ecuación del movimiento, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo, ¿consiste en resolver la ecuación del movimiento? Si es así, no tengo muy claro cómo resolver la ecuación diferencial.

    También me pide la reacción de la curva sobre la partícula y me gustaría saber si puedo hacerlo mediante formulación lagrangiana o tengo que recurrir a la newtoniana.

    Ese es el problema. ¡Muchas gracias!
    Última edición por SergioUnoxx; 05/08/2017 a las 12:38:42. Razón: Corrección de la ecuación del movimiento (R^2 en vez de R), gracias a Umbopa

  2. #2
    Avatar de Umbopa
    Umbopa no está conectado Nebulosa planetaria
    Antes conocido como Atrode
    Usuario regular
    Registro
    Feb 2011
    Ubicación
    Mallorca
    Posts
    259
    Nivel
    Doctorando en Física
    ¡Gracias!
    111 (108 msgs.)

    Predeterminado Re: Ecuación de movimiento de una cicloide

    Creo que te equivocaste en la derivación con un R^2 que pusiste solo R, pero no es tan relevante (cogiendo por ejemplo R=1 por simplicidad).

    Si no me equivoco con un clásico truquito la resuelves. Llamando v = \frac{d \phi}{dt}, tenemos que \frac{d^2 \phi}{dt^2}=\frac{d v}{d \phi} \frac{d \phi}{d t} = v \frac{d v}{d \phi} = \frac{1}{2} ....

    La ecuación se transforma a:

    (1-\cos \phi) \frac{1}{2} \frac{d}{d\phi} v^2 + \frac{1}{2} \sin \phi (v^2+g)=0.

    La cual es una ecuación lineal de primer orden que puedes resolver con los métodos típicos

    https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci...e_primer_orden

    Una vez tienes v(\phi), integrando otra vez sacas \phi(t), \frac{d \phi}{d t} = v(\phi)
    Última edición por Umbopa; 04/08/2017 a las 15:38:15.

  3. El siguiente usuario da las gracias a Umbopa por este mensaje tan útil:

    SergioUnoxx (04/08/2017)

  4. #3
    Registro
    Aug 2017
    Posts
    2
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    0 (0 msgs.)

    Predeterminado Re: Ecuación de movimiento de una cicloide

    ¡Muchas gracias! ¿Si la resuelvo usando v\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{d\phi}} en vez de \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d\phi}}{v}^{2} llego a la misma solución?
    Última edición por SergioUnoxx; 04/08/2017 a las 16:37:57.

  5. #4
    Avatar de Umbopa
    Umbopa no está conectado Nebulosa planetaria
    Antes conocido como Atrode
    Usuario regular
    Registro
    Feb 2011
    Ubicación
    Mallorca
    Posts
    259
    Nivel
    Doctorando en Física
    ¡Gracias!
    111 (108 msgs.)

    Predeterminado Re: Ecuación de movimiento de una cicloide

    Sí, pero la idea de escribir  \frac{1}{2} \frac{d}{d\phi} v^2 es para que la incógnita de la ecuación sea v^2 no  v , solo así la ecuación es lineal y puedes usar el método del link.
    Última edición por Umbopa; 04/08/2017 a las 17:42:53.

  6. El siguiente usuario da las gracias a Umbopa por este mensaje tan útil:

    SergioUnoxx (05/08/2017)

  7. #5
    Registro
    Aug 2013
    Ubicación
    Somewhere in time
    Posts
    125
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    29 (26 msgs.)

    Predeterminado Re: Ecuación de movimiento de una cicloide

    Buenas Sergio,

    Te voy a enseñar el desarrollo que he hecho yo.

    Tal y como te dice Umbopa en vez de una R hay un R^2, quedando una ecuación de movimiento del tipo:

    \dst \left( 1- \cos{\phi}\right)\ddot{\phi}+\frac{1}{2}\left( \dot{\phi}^2+\frac{g}{R} \right)\si...

    Que según he visto es equivalente a la tuya si corriges lo del R^2.

    Y esa es la ecuación del movimiento que he hallado. Aparte, el ejercicio que me lo pedía, también me pide integrar la ecuación del movimiento, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo, ¿consiste en resolver la ecuación del movimiento? Si es así, no tengo muy claro cómo resolver la ecuación diferencial.
    Esto ya te lo ha resuelto Umbopa.

    También me pide la reacción de la curva sobre la partícula y me gustaría saber si puedo hacerlo mediante formulación lagrangiana o tengo que recurrir a la newtoniana.
    En relación a esto, sí que se puede utilizar la mecánica lagrangiana para determinar las fuerzas de ligadura, mediante los multiplicadores de Lagrange. Voy a mostrarte la forma de resolución. Espero no haberme equivocado en cálculos, aparte de que al no emplear unas ecuaciones de transformación que no se corresponden con un cambio de coordenadas a esféricas o cilíndricas no estoy muy acostumbrado a este tipo de problemas, pero intentaré no dar ninguna información que no sea rigurosa.

    Lo primero que se hace con un problema de este tipo es saber cuántos grados de libertad tiene. Al ser una partícula puntual, los grados de libertad se calculan de modo que gdl=3-k siendo k el número de ligaduras. En efecto, yo veo dos ligaduras, y por tanto 1 \hspace{0,1 cm} gdl:

    r=R , que también puede escribirse \dot{r}=0.

    En sí esta ligadura es f_1 \equiv r- R que es igual a 0 cuando está activada. Esto solamente será relevante al final.

    z=0 (sin pérdida de generalidad al ser un movimiento plano)

    De este modo vemos que el sistema se puede determinar por completo atendiendo únicamente a una coordenada generalizada \lbrace \phi \rbrace, tal y como se puede ver en las ecuaciones de transformación que has puesto.

    Ahora bien, para calcular las fuerzas de ligadura primero hay que tratar el sistema como si fuera no holónomo, para poder aplicar las ecuaciones de Lagrange en estos casos, que son las siguientes:

    \dst \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \right)-\frac{\partial \m...

    Más adelante diré cómo se calculan las componentes a_{lj}.

    Entonces lo que hay que hacer es tratar al sistema como si no tuviera la ligadura f_1 aplicada (la otra no afecta en nada, pues no hay movimiento en esa dirección).

    De este modo el lagrangiano es de la forma:

    \mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{y}^2)-mgy

    Que haciendo los correspondientes cálculos en unas ecuaciones de transformación que ahora toman la forma de:

    x=r \left( \phi-\sin\phi \right)

    y=r \left( 1-\cos\phi \right)

    Queda (si no me he equivocado en cálculos) del siguiente modo:

    \dst \mathcal{L}=\frac{1}{2}m \lbrace \dot{r}^2 \left( \phi^2+2(1-\phi \sin\phi-\cos\phi) \right)  \dst +2 r^2 \dot{\phi}^2 (1-\cos\phi) +2r\phi\dot{r}\dot{\phi}(1-\cos\phi) \rbrace -mgr(1-\cos\phi)

    Ahora, continuamos viendo cómo debemos interpretar el miembro derecho de las ecuaciones de Lagrange mencionadas arriba:

    \sum_{l=1}^{m} \lambda_l (t)a_{lj} dado que solamente tenemos f_1, tendremos únicamente un elemento del sumatorio sobre l, y los elementos a_{lj} son en realidad, en este tipo de casos \dst \frac{\partial f_l}{\partial q_j}.

    De modo que, para la coordenada \phi, dado que \frac{\partial f_1}{\partial \phi}=0 entonces:

    2R^2\left( \ddot{\phi}(1-\cos\phi)+\dot{\phi}^2\sin\phi \right)-R^2\dot{\phi}^2\sin\phi +gR\sin\p...

    Obteniendo de ese modo la ecuación de movimiento mencionada arriba. (Tras haber calculado la ecuación sin ligaduras se han impuesto las ligaduras correspondientes.)

    Para la coordenada r, dado que \frac{\partial f_1}{\partial r}=1 obtenemos lo siguiente:

    \dst mR\left[ \left( \dot{\phi}^2+\phi\ddot{\phi}-2\dot{\phi}^2+\frac{g}{R} \right) (1-\cos\phi)+...\dst =\lambda_1 \frac{\partial f_1}{\partial r}=\lambda_1

    Ahora bien, estos multiplicadores de Lagrange \lambda_l se asocian con fuerzas generalizadas Q_j, de modo que:

    \dst mR\left[ \left( \dot{\phi}^2+\phi\ddot{\phi}-2\dot{\phi}^2+\frac{g}{R} \right) (1-\cos\phi)+...\dst =\lambda_1=Q_r=\vec{F}\cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial r}

    Donde \vec{r} es la ecuación de transformación de arriba, y r la coordenada radial.

    Entonces vemos que Q_r=\vec{F}\cdot \left( \phi-sin\phi,1-\cos\phi,0 \right)

    Aquí es donde tengo mi principal duda en relación a la manera en que yo he estado haciendo ejercicios similares con transformaciones "habituales" a esféricas, cilíndricas, etc. Porque generalmente se podía encontrar un vector unitario que fuera \hat{e_{\theta}}, \hat{e_{\varphi}} o algunos similares. En este caso se me ocurre definir el vector unitario siguiente:

    \dst \hat{e_{\xi}}=\frac{\left( \phi-sin\phi,1-\cos\phi,0 \right)}{\phi^2+2(1-\phi \sin\phi-\cos\...

    De modo que tendrías una única fuerza de ligadura según la dirección y el sentido de \hat{e_{\xi}}:

    \dst \vec{F}\cdot \hat{e_{\xi}}=F_{\xi}=mR \frac{\left( \dot{\phi}^2+\phi\ddot{\phi}-2\dot{\phi}^...

    En principio creo que ya estaría todo.

    Un saludo.
    Última edición por Lorentz; 07/08/2017 a las 11:13:03. Razón: Añadir información
    "Un experto es aquel que ha cometido todos los errores posibles en su campo " Niels Bohr

    \mathcal{L}=\bar{\Psi} (i \gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi - \frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}

Información del hilo

Usuarios viendo este hilo

Ahora hay 1 usuarios viendo este hilo. (0 miembros y 1 visitantes)

Hilos similares

  1. Secundaria ecuación de movimiento
    Por fly en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 02/12/2014, 23:34:19
  2. 1r ciclo ¿Que es la ecuación del movimiento?
    Por Fermigon en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 20/01/2009, 11:56:33
  3. Ecuación de movimiento
    Por CoquinUY en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 23/04/2008, 06:33:32

Permisos de publicación

  • No puedes crear hilos
  • No puedes responder
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •