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Hilo: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

  1. #1
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    Question Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    Hola, buen día. Comparto una dudita sobre la ecuación de Schrodinger: si entiendo bien, esta ecuación nos dice la probabilidad de detectar una partícula en un punto dado del espacio en cierto experimento. Inventando un ejemplo, nos dice que para el experimento X, la probabilidad de detectar a la partícula en el punto (3, -5, 12) es de 67%.

    Mi duda es, ¿esa probabilidad, en ese punto (3, -5, 12), tiene ese valor fijo todo el tiempo (67%) o cambia de valor oscilatoriamente?
    "La duda es el principio de la verdad"

  2. #2
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    Predeterminado Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    Bueno, la ecuación de Schrödinger no te da la probabilidad. La probabilidad de la da la función de onda \psi (\vec{r},t) (en concreto la integral volúmica de su módulo al cuadrado). Lo que ocurre es que esta función de onda evoluciona con el tiempo según la ecuación de Schrödinger (de igual forma que una onda electromagnética evoluciona según la ecuación de ondas).

    Cuando el hamiltoniano no depende del tiempo es posible hacer una descomposición en una función de onda que sólo depende del espacio y una parte de evolución temporal, por lo que tienes una distribución de probabilidad espacial que no depende del tiempo. A esto se conoce como estados estacionarios, y se caracterizan por tener la energía bien definida (los orbitales atómicos del átomo de hidrógeno son estados estacionarios, por ejemplo). Si tienes un estado estacionario de energía bien definida entonces sí, la probabilidad no cambia con el tiempo en cada punto.

    En la práctica estos estados no existen físicamente, pues si tuvieras un electrón en un estado estacionario no podría transitar a otro nivel de energía y no se verían los espectros de emisión de los átomos. Pero las energías que se obtienen de cada nivel y todo eso cuadran muy bien con los resultados experimentales.
    Las bolsas de patatas fritas de hoy en día son como los átomos, el 99'99% es espacio vacío.

  3. #3
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    Predeterminado Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    Hola Mossy, gracias por tu respuesta.

    Cita Escrito por Mossy Ver mensaje
    la ecuación de Schrödinger no te da la probabilidad. La probabilidad de la da la función de onda
    ¿No es lo mismo la ecuación de onda que la ecuación de Schrödinger ? ¿Cuál es la diferencia?
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  4. #4
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    Predeterminado Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    En cuántica, el estado actual del universo (o la parte que te interesa de él) está codificada en una entidad abstracta llamada... estado (no es un nombre muy original), también conocido como "ket". A un estado le podemos preguntar cuál es la probabilidad de obtener una medición concreta.

    La ecuación de Schödinger nos dice como evoluciona ese estado con el tiempo. En general, el estado cambia con el tiempo, evolucionando hacia otro estado diferente, y que dará probabilidades diferentes.

    Cita Escrito por ignorante Ver mensaje
    ¿No es lo mismo la ecuación de onda que la ecuación de Schrödinger ? ¿Cuál es la diferencia?
    La función de onda es la solución de la ecuación de Schödinger (cuando ésta está en variables de espacio). Más en general, la función de onda es una representación del estado o ket cuando sólo nos interesa la parte de posición espacial (nos podrían interesar otras cosas, algunas que no tienen análogo clásico como el spin).
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

  5. #5
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    Predeterminado Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    Gracias por la respuesta pod, pero sigo con la duda:

    Cita Escrito por pod Ver mensaje
    La función de onda es la solución de la ecuación de Schödinger (cuando ésta está en variables de espacio). Más en general, la función de onda es una representación del estado o ket cuando sólo nos interesa la parte de posición espacial
    ¿Significa que cuando se resuelve la ecuación de Schrodinger de este modo (ignorando la “parte temporal”) se obtienen las probabilidades únicamente para un instante t determinado?
    "La duda es el principio de la verdad"

  6. #6
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    Predeterminado Re: Duda sobre la ecuación de Schrodinger

    Cita Escrito por ignorante Ver mensaje
    ¿Significa que cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger de este modo (ignorando la “parte temporal”) se obtienen las probabilidades únicamente para un instante t determinado?
    Primero, no se puede "ignorar" la parte temporal. Lo que se hace es una separación de variables; si el potencial no depende del tiempo (y, por lo tanto, el hamiltoniano) se puede hacer el "ansatz" de la ecuación de onda \psi(\vec r,\ t) = f(t) \phi(\vec r). La solución de la parte temporal es trivial f(t) = \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}, y eso deja la parte espacial como ya conoces,

    \left[- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec r) \rigth] \phi(\vec r) = E \phi(\vec r).

    Pero es importante entender que viene de hacer una separación de variables, y no de ignorar. La solución completa no es esa \phi(\vec r), sino la original con todas las variables. Aquí, matemáticamente E aparece como un parámetro de separación de variables (en realidad, el parámetro seria E/\hbar, pero obviaremos el detalle); interpretar ese parámetro como la energía es algo puramente físico, no matemático.

    En este contexto, es importante entender la teoría de Strum-Liouville de las ecuaciones diferenciales en varias variables. En general, la resolución de la ecuación (1) nos da una serie de soluciones para diferentes valores del parámetro de separación de variables, E; donde lo más probable es que E sólo pueda asumir un conjunto de valores discreto \{E_n\}, para otros valores, no hay solución posible. La solución general a la ecuación original es una combinación de todas esas soluciones:

    \psi(\vec r,\ t) = \sum_n a_n  \mathrm{e}^{- i E_n t / \hbar} \phi_n(\vec r) ,

    donde a_n son coeficientes (complejos) totalmente arbitrarios en la solución general. Para aplicar la solución a un problema concreto es necesario aplicar condiciones de contorno para determinar los coeficientes.

    Con todo este preámbulo, que seguramente ya conocías, respondamos a tu duda: resulta que la ecuación de Schödinger independiente del tiempo (1) sólo da como resultado la función de onda de un sistema donde las condiciones de contorno hagan que todos los coeficientes a_n sean nulos, excepto uno (pongamos que sólo el coeficiente m-éssimo no es nulo, a_m = \delta_{n,m}). En ese caso, la función de onda total del sistema será, simplemente, \psi(\vec r,\ t) = \mathrm{e}^{- i E_m t / \hbar} \phi_m(\vec r) . Es obvio que en estas condiciones la probabilidad de encontrar la partícula en un punto concreto, \vec r = \vec a, no depende del tiempo:

    P(\vec r = \vec a, t) = \Big|\psi(\vec r,\ t) \Big|^2 = \big| \phi_n(\vec r) \big|^2 .

    Es decir, si yo procuro de alguna forma preparar el sistema para que en un momento dado esté en un estado que sea solución de la ecuación de Schödinger independiente del tiempo, entonces permanecerá siempre en ese estado y las probabilidades no cambiaran.

    En cualquier otro caso, si el estado inicial del sistema no era tal que fuera solución de la ecuación (1); es decir, donde el estado viene descrito por una combinación lineal (2) donde "sobreviven" dos o más términos, entonces las probabilidades sí cambiarán a lo largo del tiempo.
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

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