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(P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

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  • Olimpiada (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

    Como el año pasado, voy a subir 4 problemas propuestos de matemáticas para que paséis unas felices navidades haciendo lo que más os gusta. Dejaré 1 semana entre problema y problema para que los penséis. Una semana después de subir el último, redactaré las soluciones de los 4. Para cada problema dejaré una pista que podréis usar opcionalmente. Si la usáis, comentadlo. ¡Suerte y a disfrutar de las matemáticas!

    PROBLEMA 3

    ¿Existen dos números primos consecutivos tales que su diferencia sea mayor o igual a ?

    PISTA


    Ocultar contenido
    Si existiesen, bastaría encontrar números compuestos consecutivos.

    Recordad: Si dejáis una solución, hacedlo entre las etiquetas [SOLUCION] [/SOLUCION]
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

  • #2
    Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

    Hola Angel ,
    Ocultar contenido


    Los números que pides existen

    Aqui voy con mi rudimentaria demostración, a ver si atino esta vez....

    llamo o a un número primo de la tabla que adjunto al final donde o es el índice que le asigne en orden creciente a su izquierda, de la cual se observa que hay 306 números primos menores a 2018.

    si llamo al menor de los números primos que estoy buscando, sabemos a priori que es impar y si le agrego 1 sera par y por lo tanto ese numero será no primo o divisible,

    si le agrego 2 deberá ser divisible por 3 y por lo tanto no primo....

    así fui pensando que debe cumplir con una serie de ecuaciones que hacen que los números intermedios entre el menor y el mayor del rango sean todos divisibles osea no primos.

    donde es el número que lo hace divisible.

    luego para cualquier o se debe dar que

    con arbitrarios

    esto da la pauta de que debe ser al menos múltiplo de todos los números primos menores a 2018 que figuran en la tabla

    de donde

    sería el menor de todos los posibles de hallar.

    por lo si llamo al siguiente número primo este debe ser impar y mayor que al menos podría ser







    1 2 63 307 125 691 187 1117 249 1579
    2 3 64 311 126 701 188 1123 250 1583
    3 5 65 313 127 709 189 1129 251 1597
    4 7 66 317 128 719 190 1151 252 1601
    5 11 67 331 129 727 191 1153 253 1607
    6 13 68 337 130 733 192 1163 254 1609
    7 17 69 347 131 739 193 1171 255 1613
    8 19 70 349 132 743 194 1181 256 1619
    9 23 71 353 133 751 195 1187 257 1621
    10 29 72 359 134 757 196 1193 258 1627
    11 31 73 367 135 761 197 1201 259 1637
    12 37 74 373 136 769 198 1213 260 1657
    13 41 75 379 137 773 199 1217 261 1663
    14 43 76 383 138 787 200 1223 262 1667
    15 47 77 389 139 797 201 1229 263 1669
    16 53 78 397 140 809 202 1231 264 1693
    17 59 79 401 141 811 203 1237 265 1697
    18 61 80 409 142 821 204 1249 266 1699
    19 67 81 419 143 823 205 1259 267 1709
    20 71 82 421 144 827 206 1277 268 1721
    21 73 83 431 145 829 207 1279 269 1723
    22 79 84 433 146 839 208 1283 270 1733
    23 83 85 439 147 853 209 1289 271 1741
    24 89 86 443 148 857 210 1291 272 1747
    25 97 87 449 149 859 211 1297 273 1753
    26 101 88 457 150 863 212 1301 274 1759
    27 103 89 461 151 877 213 1303 275 1777
    28 107 90 463 152 881 214 1307 276 1783
    29 109 91 467 153 883 215 1319 277 1787
    30 113 92 479 154 887 216 1321 278 1789
    31 127 93 487 155 907 217 1327 279 1801
    32 131 94 491 156 911 218 1361 280 1811
    33 137 95 499 157 919 219 1367 281 1823
    34 139 96 503 158 929 220 1373 282 1831
    35 149 97 509 159 937 221 1381 283 1847
    36 151 98 521 160 941 222 1399 284 1861
    37 157 99 523 161 947 223 1409 285 1867
    38 163 100 541 162 953 224 1423 286 1871
    39 167 101 547 163 967 225 1427 287 1873
    40 173 102 557 164 971 226 1429 288 1877
    41 179 103 563 165 977 227 1433 289 1879
    42 181 104 569 166 983 228 1439 290 1889
    43 191 105 571 167 991 229 1447 291 1901
    44 193 106 577 168 997 230 1451 292 1907
    45 197 107 587 169 1009 231 1453 293 1913
    46 199 108 593 170 1013 232 1459 294 1931
    47 211 109 599 171 1019 233 1471 295 1933
    48 223 110 601 172 1021 234 1481 296 1949
    49 227 111 607 173 1031 235 1483 297 1951
    50 229 112 613 174 1033 236 1487 298 1973
    51 233 113 617 175 1039 237 1489 299 1979
    52 239 114 619 176 1049 238 1493 300 1987
    53 241 115 631 177 1051 239 1499 301 1993
    54 251 116 641 178 1061 240 1511 302 1997
    55 257 117 643 179 1063 241 1523 303 1999
    56 263 118 647 180 1069 242 1531 304 2003
    57 269 119 653 181 1087 243 1543 305 2011
    58 271 120 659 182 1091 244 1549 306 2017
    59 277 121 661 183 1093 245 1553
    60 281 122 673 184 1097 246 1559
    61 283 123 677 185 1103 247 1567
    62 293 124 683 186 1109 248 1571




    Saludos


    Última edición por Richard R Richard; 27/12/2017, 02:53:28.

    Comentario


    • #3
      Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

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      Con este también me atrevo a intentarlo.

      2019! = 1·2·3·4· ... ·2018·2019

      Por lo tanto 2019! es divisible por 2, 3, 4, .... , 2018 y 2019

      1) =2019!+2 es divisible por 2
      2) =2019!+3 es divisible por 3
      3) =2019!+4 es divisible por 4
      4) =2019!+5 es divisible por 5

      ........................................................

      2016) =2019!+2017 es divisible por 2017
      2017) =2019!+2018 es divisible por 2018
      2018) =2019!+2019 es divisible por 2019

      Hemos construido una lista 1) 2) 3) ... 2017) y 2018) formada por 2018 números consecutivos, que son todos compuestos.

      Por lo tanto la diferencia entre el mayor número primo menor que 2019!+2 y el siguiente número primo, será mayor que 2018.

      Saludos.
      Última edición por Alriga; 27/12/2017, 13:41:36.
      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

      Comentario


      • #4
        Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

        Para Richard:
        Ocultar contenido
        Richard, reconozco estar algo perdido con tu demostración. No obstante, si que encuentro varios fallos en lo que entiendo:
        Empiezas probando que existen llamando al menor que lo verifica. Pero no puedes probar la existencia de algo suponiéndola, ya que todas las conclusiones que saques podrían ser falsas. Aceptemos pues que existen y sea el menor que lo verifica. Claramente es par y no es primo. Lo que no queda tan claro es que sea múltiplo de 3. En general, para un primo cualquiera, eso no es cierto. En la propia tabla escribes muchos primos gemelos (aquellos cuya diferencia es 2), como el 1997 y el 1999, y se conjetura que hay infinitos. Pero aunque sea un primo que verifique las condiciones (imponemos que sean todos compuestos), no veo claro que sea múltiplo de 3. Si el resto de la división de por 3 es 2, entonces no es múltiplo de 3, pero podría ser compuesto. De ahí, no entiendo mucho la deducción de la expresión . Échale un ojo y me dices.
        En cualquier caso, gracias por el trabajo que has hecho, ¡y por la tabla con más de 300 primos!

        Para Alriga

        Ocultar contenido
        ¡Enhorabuena, esa era la respuesta esperada!
        Por curiosidad, ¿conocías este resultado, has investigado o se te ha ocurrido?
        Es la idea de la demostración de que el gap (la diferencia entre dos primos consecutivos) puede ser arbitrariamente grande.

        Saludos y gracias a ambos
        Última edición por angel relativamente; 27/12/2017, 19:42:26.
        [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

        Comentario


        • #5
          Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

          Hola angel
          Ocultar contenido
          si si ...tienes razon, hay pares multiplos de 3 así que mi conjetura es incorrecta, anoche no lo vi, .... x+1 puede ser divisible por 3, así que le hechare un rato mas de tiempo.....

          solo se me ocurre que para defender un poco lo que hice , puedo escojer x tal que se cumplan esas condiciones , pues si encuentro un x que lo cumpla seguro que los 2017 números subsiguientes son compuestos, con lo cual habré hallado un ejemplo de existencia de un "primo" a priori inferior , y como no hay cota maxima, existe uno superior talque , , y aunque haga esos supuestos, no garantizo para nada que sea primo.. pero igual tirare de la piola un poco mas, aver que se me ocurre, gracias por proponer este tipo de hilos.



          Escrito por angel relativamente Ver mensaje
          En cualquier caso, gracias por el trabajo que has hecho, ¡y por la tabla con más de 300 primos!


          aqui puedes ver los números primos menores al millon

          http://www.disfrutalasmatematicas.co...os-listas.html


          no pude evitar la tentación de mirar lo que hizo alriga, y sin animo de criticar su resultado me parece que 2019! no es primo , imagino que el primo es


          con ese criterio serían primos lo cual no es cierto con n=4

          y si mi criterio es cierto entonces

          la productoria de los primos tambien es resultado , pues porque para ser multiplo de 4 ya por lo menos es multiplo de 2

          me refiero a

          es divisible por 4.....

          entonces

          es divisible por 2.....

          esto es existe un natural que al multiplicarlo por el primo en este caso 2 , es igual al número buscado menos 1


          entonces esta condición n=3 puede ser desechada por redundar quedando solo en la productoria los primos , el menor de los x que cumple con la condición es la productoria de primos mas 1


          de allí viene la logica que use , aunque si veo que lo explique pesimo, o sigo sin ver en que me equivoco.

          esa misma formula se puede ver de este modo que es lo que presentó alriga para todos los números del rango

          se puede ver en este ejemplo que tambien entero por lo cual es multiplo o compuesto

          vuelvo a editar para dar sentido , las acotaciones que hace angel que habia eliminado por erroneas, perdon
          pensaba que probablemente el numero posterior de la productoria de numeros primos debia ser primo,


          primo
          primo
          primo
          primo
          primo



          Enesima vez que edito, creo que asimile el resultado de alriga, el demuestra que hay 2018 números compuestos seguidos luego del 2019!

          yo creo que que hay que hay 2018 números compuestos seguidos luego de la productoria de los primeros 306 números primos

          puede o no ser compuesto

          es divisible por 2 compuesto

          es divisible por 3 compuesto

          es divisible por 2 compuesto

          y si sigo llego a 2017

          es divisible por 2017 compuesto

          luego tengo

          es divisible por 2 y 1009 compuesto

          es divisible por 3 y 673 compuesto


          asi que tengo los 2018 numeros seguidos compuestos....

          Saludos

          Última edición por Richard R Richard; 28/12/2017, 01:24:12.

          Comentario


          • #6
            Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

            Paso a recordar la demostración de Euclides de que hay infinitos primos:
            Supongamos que hay un número finito y sea el más grande. Entonces no es divisible por ningún primo y en consecuencia es primo, llegando a una contradicción.

            Ocultar contenido
            No obstante, al no ser cierto que hay un número finito de primos, no se puede deducir que el producto de primos consecutivos más 1 sea primo.
            Como tú mismo has escrito Richard, es compuesto, y tampoco es una gran sorpresa teniendo en cuenta que entre el 13 y el 30031 hay muchos primos. no tengo claro que sea primo. Pero aunque lo fuese, tampoco tengo claro que el siguiente primo sea al menos 2018 unidades mayor.
            En la solución de Alriga, efectivamente no es primo y tampoco se sabe si lo es. Lo que si se sabe que hay primos menores que y primos mayores que . Si llamamos al mayor primo menor que y al menor primo mayor que , entonces claramente que es lo que pedía el problema.
            Nota: De hecho, Alriga prueba que puede ser mayor estricto (y por tanto mayor o igual). Se podría haber buscado una sucesión de compuestos más pequeña que verificase el menor o igual, a saber: . Yo personalmente no tengo ni idea si es la sucesión más pequeña de 2017 compuestos consecutivos (probablemente no), pero eso ya es otro problema.

            ¡Saludos!

            Respuesta al EDIT de Richard:

            Ocultar contenido
            Ahora sí entiendo mejor por dónde vas. Efectivamente y si no se me escapa nada, la sucesión son 2017 números compuestos consecutivos y eso ya resolvería el problema.
            ¡ENHORABUENA RICHARD!
            La solución es más compleja que la esperada, pero al mismo tiempo es muchísimo más pequeña. Esperaba que al proponerlo por aquí alguien diese una solución alternativa. Me la anoto
            Última edición por angel relativamente; 28/12/2017, 01:04:53. Motivo: Responder la edición de RRR
            [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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            • #7
              Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

              Escrito por angel relativamente Ver mensaje
              Paso a recordar la demostración de Euclides de que hay infinitos primos:
              Supongamos que hay un número finito y sea el más grande. Entonces no es divisible por ningún primo y en consecuencia es primo, llegando a una contradicción.
              No necesariamente es primo, puede ser compuesto pero producto de algún primo que no están en la lista, lo que salva la contradicción : La demostracion más bella de las matemáticas

              Ocultar contenido

              Escrito por angel relativamente Ver mensaje
              Para Alriga
              ¡Enhorabuena, esa era la respuesta esperada!
              Por curiosidad, ¿conocías este resultado, has investigado o se te ha ocurrido?
              Es la idea de la demostración de que el gap (la diferencia entre dos primos consecutivos) puede ser arbitrariamente grande.
              Está claro que me gustan los números primos, como demuestra que abriese el hilo que enlazo arriba. En su momento, hace años, conocí la demostración de que se puede conseguir una lista de “n” números compuestos consecutivos tan larga como se quiera y que la demostración consistía en buscarlos a partir del factorial de n.

              Me fascinó, es muy chocante que los primos sean infinitos y que al mismo tiempo puedas conseguir que sean tan escasos como tú quieras. Recordando que la lista se conseguía a partir del factorial y leyendo tu pista, no me fue difícil refrescar recuerdos y particularizar la demostración para el caso >2018

              Saludos.
              Última edición por Alriga; 28/12/2017, 12:20:52. Motivo: presentación
              "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

              Comentario


              • #8
                Re: (P 3/4) Año Nuevo Matemático 2018

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                me he puesto a jugar un rato

                Escrito por Alriga Ver mensaje
                No necesariamente es primo, puede ser compuesto pero producto de algún primo que no están en la lista,
                el ejemplo es es divisible por un primo que no está en la lista, suponer una lista completa de todos los primos es lo que hace llegar al absurdo....

                Escrito por Alriga Ver mensaje
                Me fascinó, es muy chocante que los primos sean infinitos y que al mismo tiempo puedas conseguir que sean tan escasos como tú quieras.
                lo mismo digo

                Escrito por angel relativamente Ver mensaje
                Esperaba que al proponerlo por aquí alguien diese una solución alternativa.....
                si serán escasos que solo entre la solución de alriga y la mia hay un número enorme de sucesiones de 2018 números compuestos seguidos ,

                si hasta el 2019 hay 2019-306= 1713 números compuestos

                entonces hay sucesiones que son solución , aunque no se me ocurre como eliminar las repetidas

                aquellas que incluyan en la productoria el 4 y 6 con la que incluye solo el 24 por ejemplo para hallar el numero de soluciones que son distintas entre si

                me gustaria generalizar pero no se si se puede...

                "Luego de un número cuya descomposición en factores incluya todos los números primos inferiores al dato de números compuestos seguidos que se quiera , la segunda unidad posterior será un numero compuesto, y la sucesión sigue con una longitud igual al primer numero primo posterior al dato menos -2 ".(con 2018 aseguramos solo 2027-2=2025 compuestos seguidos) (pero falla si se busca un año primo menos -1 , ej 6, 2016 etc)

                siguiendo el ejemplo ...conseguir al menos 14 seguidos desde el 30032 deberian hallarse 15 numeros compuestos seguidos ya que el primo siguiente al 13 es el 17., al restarle 2 quedan 15 elementos[ quito el primero(+1)y el ultimo de la lista(el siguiente primo) ]


                1)
                2)
                3)
                4)
                5)
                6)
                7)
                8)
                9)
                10)
                11)
                12)
                13)
                14)
                15)

                aqui debería venir el primo y

                16)

                y viene

                pero como dije no es regla pues falla buscando números primos menos 1 pues si buscara 16 seguidos tambien llegaria a la sucesion de 30032 en adelante que de casualidad 30031 no es primo y se logra tener 16 seguidos , pero no creo que sea regla...


                por lo que
                "Luego de un número cuya descomposición en factores incluya todos los números primos hasta incluir el primero superior al dato de números compuestos seguidos que se quiera , la segunda unidad posterior a la productoria será un número compuesto, y la sucesión sigue con una longitud igual al segundo numero primo posterior al dato menos -2"

                con 2018 hariamos la productoria de los primeros 307 numeros primos y podemos asegurarnos 2039-2=2037 compuestos seguidos
                con 2016 haríamos la productoria de los primeros 306 números primos y podemos asegurarnos 2027-2=2025 compuestos seguidos cuando antes solo podiamos asegurar 2015 =2017-2

                Saludos


                Última edición por Richard R Richard; 29/12/2017, 03:44:31.

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