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Hilo: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

  1. #1
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    Predeterminado Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

    Buenas noches,
    planteo este problema cuya solución no me cuadra.

    Alrededor de la tierra, a unos 1000Km de altura sobre la superficie de terrestre hay muchos satélites en órbita. Los satélites geosincronos están en órbita a una distancia de 4,22*10^7 m del centro de la tierra. ¿Cuanta energía adicional se requiere para lanzar un satélite de 500 Kg a una órbita geosíncrona en vez de una órbita de 1000 Km por encima de la supreficie terrestre?

    Bien, el planteamiento que hago es el siguiente;
    a) Energía potencial necesaria para elevar el satélite a órbira geoestacionaria;
    E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)
    b) Energía cinética necesaria para mantener el satélite en órbita;
    cálculo de la velocidad;
    \dfrac{GmM_t}{R_g^2}=\dfrac{mV_g^2}{Rg}
    De lo cual obtengo;
    V_g^2=\dfrac{GM_t}{R_g}
    ,
    E_c=\dfrac{GmM_t}{2R_g}
    ,
    =GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}
    Simplificando me sale;
    E_g=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_g}\right)
    Sustituyendo para una órbita R_{1000}, obtengo;
    E_{1000}=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_{1000}}\right)
    La diferencia de energías \Delta_E me sale;
    \Delta_E=\dfrac{GmM_t}{2}\left(1/R_{1000}-1/R_g \right )
    Sustituyendo valores me sale;\Delta_E=2.2179*10^{10} Julios,
    El solucionario sale 11,1 GJulios, supongo que he debido equivocarme en algún paso.
    Última edición por inakigarber; 11/01/2018 a las 23:42:23.
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
    No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

  2. #2
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    Predeterminado Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

    No aprecio ningún error en las expresiones que has escrito. Por otra parte, está claro que la energía adicional es la misma que hace falta para pasar de la órbita baja a la alta. Como ambas son circulares sus energías son \dst-\frac{1}{2}G\frac{Mm}{R_i}, de donde resulta inmediatamente la expresión que has escrito. Permíteme que no revise las cifras. También es posible que esté mal la solución del libro.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  3. El siguiente usuario da las gracias a arivasm por este mensaje tan útil:

    inakigarber (12/01/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

    La solución al problema es obtener la diferencia de energias mecanicas de las 2 orbitas, el dato desde donde haya sido lanzado es irrelevante por ello...


    Cita Escrito por inakigarber Ver mensaje
    E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)
    es la diferencia de energías potenciales entre la tierra y la órbita, en realidad tiene que ser solo

    E_{pg}=-GmM_t\left(\dfrac{1}{R_g}\right)

    lo que arrastra

    Em_g=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}=-\dfrac{GmM_t}{2R_g}


    Edito: que coincide con lo que dice arivasm

    La orbita a 1000 km sobre la superficie

    Em_{1000}=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_T+1000000m}\right)+\dfrac{GmM_t}{2(R_T+1000000m)}

    luego la diferencia que es lo que pide el problema

    \Delta Em=Em_g-Em_{1000}=GmM\left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]-\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\d...

    \Delta Em=GmM_t\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]=\notcien {1.32}{10} J

    supongo que la diferencia obedece a los valores tomados para la masa de la tierra y la constante G
    Última edición por Richard R Richard; 12/01/2018 a las 04:11:20. Razón: comentario , porque postee sin ver el aporte de arivasm
    Saludos \mathbb {R}^3

  5. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    inakigarber (12/01/2018)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

    La manera rápida de verlo es como dice Arivasm, sabiendo que la energía mecánica específica total en una órbita cerrada, (circular o elíptica) es constante y vale siempre:

     \varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}

    Fórmula (6) de la demostración Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

    En el caso de este ejercicio, la órbita es circular (a = R) y la energía mecánica total es:

    E=-\dfrac{G \ M \ m}{ 2 \ R}

    Por lo tanto, la diferencia de energía mecánica entre las órbitas R_1 y R_2 es:

    E_2-E_1=\dfrac{G \ M \ m}2\cdot \Big ( \dfrac 1{R_1}-\dfrac1{R_2}\Big )

    Que naturalmente es la misma expresión a la que habéis llegado, y que sustituyendo números da 13.26 \ GJ como bien ha calculado Richard.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 12/01/2018 a las 13:14:10. Razón: Presentación
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  7. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    inakigarber (14/01/2018)

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