Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

**inakigarber** · 11/01/2018, 23:40:01

Buenas noches,
planteo este problema cuya solución no me cuadra.

Alrededor de la tierra, a unos 1000Km de altura sobre la superficie de terrestre hay muchos satélites en órbita. Los satélites geosincronos están en órbita a una distancia de 4,22*10^7

m del centro de la tierra. ¿Cuanta energía adicional se requiere para lanzar un satélite de 500 Kg a una órbita geosíncrona en vez de una órbita de 1000 Km por encima de la supreficie terrestre?

Bien, el planteamiento que hago es el siguiente;
a) Energía potencial necesaria para elevar el satélite a órbira geoestacionaria;

$E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)$ (Energia potencial)

b) Energía cinética necesaria para mantener el satélite en órbita;
cálculo de la velocidad;

$\dfrac{GmM_t}{R_g^2}=\dfrac{mV_g^2}{Rg}$ (igualgad de fuerzas)

De lo cual obtengo;

$V_g^2=\dfrac{GM_t}{R_g}$ (cuadrado de la velocidad)

,

$E_c=\dfrac{GmM_t}{2R_g}$ (Energía cinética)

,

$=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}$ (Energia total del sistema)

Simplificando me sale;

$E_g=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_g}\right)$ (Energia total del sistema)

Sustituyendo para una órbita $R_{1000}$ , obtengo;

$E_{1000}=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_{1000}}\right)$ (Energia total del sistema 2)

La diferencia de energías $\Delta_E$ me sale;

$\Delta_E=\dfrac{GmM_t}{2}\left(1/R_{1000}-1/R_g \right )$ (Diferencia de energias)

Sustituyendo valores me sale; $\Delta_E=2.2179*10^{10} Julios$ ,
El solucionario sale 11,1 GJulios

, supongo que he debido equivocarme en algún paso.

**arivasm** · 12/01/2018, 02:56:45

No aprecio ningún error en las expresiones que has escrito. Por otra parte, está claro que la energía adicional es la misma que hace falta para pasar de la órbita baja a la alta. Como ambas son circulares sus energías son $\dst-\frac{1}{2}G\frac{Mm}{R_i}$ , de donde resulta inmediatamente la expresión que has escrito. Permíteme que no revise las cifras. También es posible que esté mal la solución del libro.

**Richard R Richard** · 12/01/2018, 04:07:37

La solución al problema es obtener la diferencia de energias mecanicas de las 2 orbitas, el dato desde donde haya sido lanzado es irrelevante por ello...

Escrito por inakigarber

$E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)$ (Energia potencial)

es la diferencia de energías potenciales entre la tierra y la órbita, en realidad tiene que ser solo

$E_{pg}=-GmM_t\left(\dfrac{1}{R_g}\right)$

lo que arrastra

$Em_g=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}=-\dfrac{GmM_t}{2R_g}$ (Energia total del sistema)

Edito: que coincide con lo que dice arivasm

La orbita a 1000 km sobre la superficie

$Em_{1000}=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_T+1000000m}\right)+\dfrac{GmM_t}{2(R_T+1000000m)}$

luego la diferencia que es lo que pide el problema

$\Delta Em=Em_g-Em_{1000}=$ $GmM\left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]-\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\d...$

$\Delta Em=GmM_t\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]=\notcien {1.32}{10} J$

supongo que la diferencia obedece a los valores tomados para la masa de la tierra y la constante G

**Alriga** · 12/01/2018, 11:15:23

La manera rápida de verlo es como dice Arivasm, sabiendo que la energía mecánica específica total en una órbita cerrada, (circular o elíptica) es constante y vale siempre:

$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}$

Fórmula (6) de la demostración Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

En el caso de este ejercicio, la órbita es circular ( a = R

) y la energía mecánica total es:

$E=-\dfrac{G \ M \ m}{ 2 \ R}$

Por lo tanto, la diferencia de energía mecánica entre las órbitas R_1

y

es:

$E_2-E_1=\dfrac{G \ M \ m}2\cdot \Big ( \dfrac 1{R_1}-\dfrac1{R_2}\Big )$

Que naturalmente es la misma expresión a la que habéis llegado, y que sustituyendo números da $13.26 \ GJ$ como bien ha calculado Richard.

Saludos.