2o ciclo Ley de Ampere, fuerza entre dos circuitos por los que circula corriente

[Enrique Ortiz Martinez]

Demuestre que la ley de fuerza (Ley de Ampere):


${F}_{2 }=$ $\frac{{\mu}_{0 }}{4\pi }$ ${I}_{ 1}{I}_{2 }$${\oint}_{1 }$ ${\oint}_{ 2}$ $\frac{d{\ell}_{ 1} \times [d{\ell}_{ 2} \times ({r}_{ 2} - {r}_{ 1})]}{|{r}_{2 } - {r}_{1 }{|}^{3 } }$

La cual representa la fuerza total sobre 1 debido a 2, puede transformarse en

${F}_{2 }= -$ $\frac{{\mu}_{0 }}{4\pi }$ ${I}_{ 1}{I}_{2 }$${\oint}_{1 }$ ${\oint}_{ 2}$ $\frac{({r}_{ 2}-{r}_{ 1})}{|{r}_{ 2}-{r}_{1 }{|}^{3 } }$ $d{\ell}_{1 }$ $\cdot$ $d{\ell}_{2 }$




Lo que se me ha ocurrido es el producto vectorial triple:

$d{\ell}_{1 } \times[d{\ell}_{2 } \times ({r}_{2 }-{r}_{1 })]$ $=$ $d{\ell}_{2 }$ $(d{\ell}_{1 }\cdot ({r}_{2 }-{r}_{1 }))$ $- ({r}_{2 }-{r}_{1 })$ $(d{\ell}_{1 }$ $\cdot$ $d{\ell}_{2 })$

Pero de ahi ya no se me ocurre que mas hacer de antemano gracias

[Alriga]

Re: Ley de Ampere, fuerza entre dos circuitos por los que circula corriente

Intento ayudar,

Llamo $r=r_2-r_1$ para no tener que arrastrar por las integrales un nombre tan largo como $r_2-r_1$

Aplicando el doble producto vectorial:

$d\ell_1\times (d\ell_2\times r)=d\ell_2 (d\ell_1 \cdot r)-r(d\ell_1 \cdot d\ell_2)$

$\dst F_2=\dfrac{\mu_0}{4\pi} I_1 I_2 \oint_1 \oint_2 \dfrac 1{|r|^3} d\ell_1\times (d\ell_2\times r)$

$\dst F_2=\dfrac{\mu_0}{4\pi} I_1 I_2 \left[\oint_1 \oint_2 \dfrac 1{|r|^3} d\ell_2 (d\ell_1 \cdot r)-\oint_1 \oint_2 \dfrac r{|r|^3} d\ell_1 \cdot d\ell_2\right]$

Y ahora, para llegar a la expresión final que demanda el ejercicio, solo queda por demostrar que:

$\dst \oint_1 \oint_2 \dfrac 1{|r|^3} d\ell_2 (d\ell_1 \cdot r)=\oint_1 \oint_2 \dfrac 1{|r_2-r_1|^3} d\ell_2 \left [d\ell_1 \cdot (r_2-r_1)\right ]=0$

Pero no acierto a ver como demostrarlo, ¿tal vez aplicando alguna de las propiedades matemáticas de estas integrales, tipo Teorema de Stokes o similar? ¿Alguien ve cómo?

Saludos.