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Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

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  • Divulgación Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

    Buenas tardes.
    Planteo el siguiente problema que aunque me parece fácil, se me está resistiendo;
    "Cuatro planetas idénticos están distribuidos en un cuadrado como se muestra en la figura. Si la masa de cada planeta es M y el lado del cuadrado es a, ¿cual ha de ser la velocidad de los planetas si se mueven alrededor del centro del cuadrado bajo la influencia de su atracción mutua?" (entiendo que a lo que se refiere es a cual es la velocidad a la que el sistema permanecería estable)
    Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	Gravedad 4 cuerpos.gif
Vitas:	1
Tamaño:	17,6 KB
ID:	314895
    Considerando el cuerpo A, la fuerza gravitatoria resultante será la suma de la totalidad de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre A (por ejemplo), estas serían.
    , donde representa el ángulo;
    Esto me da una resultante de;
    Bien, la fuerza centrifuga, sería la debida a la rotación con respecto al centro del cuadrado y valdría;
    Igualando ambas fuerzas y despejando me sale;
    Cuyo resultado no me coincide con el resultado final;
    No estoy seguro de haber entendido bien lo que se busca en el enunciado. En todo caso, es correcto mi resultado, y si no lo es ¿donde me equivoco?

    Saludos y gracias.
    Última edición por inakigarber; 02/02/2018, 18:11:43.
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
    No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

  • #2
    Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

    La fuerza en x



    La fuerza en Y



    el modulo de F


    ( tu formula 4 esta mal)

    la fuerza centripeta necesaria para la rotación en el centro del cuadrado



    igualando 4 y 5 debes llegar a tu formula 7 como



    Pd recuerda que el vector velocidad es perpendicular a radio y qu aqui solo hallamos el modulo.



    recuerdo este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...-los-3-cuerpos

    puedes hallar el programa My solar system que aporto alriga para simular lo que estas buscando tal cual lo hice yo alli y tambien alexpglez
    Última edición por Richard R Richard; 03/02/2018, 00:51:19. Motivo: link

    Comentario


    • #3
      Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

      Si, es verdad, me había equivocado en dicho punto, ahora si me coincide con el tuyo. No obstante, el resultado del libro tampoco coincide con el tuyo, por lo que es posible que el libro esté equivocado.

      Saludos y gracias.
      Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
      No tengo talento, lo que hago, lo hago solo con mucho trabajo Maria Blanschard (Pintora)

      Comentario


      • #4
        Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

        Utilizando el concepto de masa reducida:


        y la expresión de la velocidad para una órbita circular:


        llegamos al resultado buscado:


        Saludos.
        Última edición por IsaacDL; 04/02/2018, 00:07:30.

        Comentario


        • #5
          Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

          Hola IssacDL , hasta donde pude indagar en internet, el concepto de masa reducida funciona para dos cuerpos, desconozco si funciona para mas cuerpos que no se ubican sobre la misma recta, si bien encuentro lógica en tu planteo, no se si me explico





          para dos masas








          la posición y velocidad relativas al CM







          pero al definir



          no veo como puedes llegar a



          que es lo que se necesita para hacer el reemplazo y que la velocidad y distancia relativas al CM queden en funcion de

          quizá me pierdo de algo logico y sencillo, pero de momento no lo veo.


          si a un sistema de dos cuerpos de masa reducida se lo pone a una nueva masa es logico que orbiten el nuevo baricentro y su nueva masa reducida será



          de donde



          siguiendo la misma logica para un cuarto cuerpo, se ve que tu resultado



          es lógico

          y aplicando la segunda ley de Newton a una particula de masa reducida que gira con la misma velocidad angular que todo el sistema




          de donde se llega a la velocidad que has calculado.

          Sobre esta ecuacion me quedan dudas sobre el porque se usa como la distancia al baricentro, pero en las soluciones a los sistemas binarios es la distancia entre las masas , y como esta no es única ya que dos se ubican a distancia y otra a no creo que sea valida, pero bueno como dije desconozco la justificación.

          Ademas veo que las masas de la segunda ecuación de newton son dando y para un sistema de tres cuerpos de masa reducida orbitando un cuerpo de masa el producto de las masas deberia ser con lo que se arriba a distintos resultados y la distancia entre el baricentro de los tres cuerpos y la masa seguro no es .


          Por otro lado no se exactamente en que falla nuestro planteo, solo creo que podria argumentar que la masa A de donde se hace el calculo de la fuerza centripeta estaría mal hecho, porque la masa A no esta estacionaria o fija sino que se mueve con respecto al baricentro, pero desconozco si es esa la justificación . Gracias
          Última edición por Richard R Richard; 04/02/2018, 12:09:50.

          Comentario


          • #6
            Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

            Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
            ...hasta donde pude indagar en internet, el concepto de masa reducida funciona para dos cuerpos, ...
            Yo tampoco he encontrado que se defina ni se utilice el concepto de masa reducida para más de 2 cuerpos.

            Siguiendo la pauta de Richard en este post, http://forum.lawebdefisica.com/threa...103#post158103, he modelizado la configuración de inakigarber para los 4 cuerpos de este hilo: para verla id a My Solar System.

            Seleccionad number of bodies 4 y poned los siguientes datos:

            masa x y
            Cuerpo 1 74 -100 -100 50 -50
            Cuerpo 2 74 100 -100 50 50
            Cuerpo 3 74 100 100 -50 50
            Cuerpo 4 74 -100 100 -50 -50
            Seleccionad más "accurate" o más "fast" según prefiráis y "Start" El sistema permanece estable durante un time

            Saludos.
            Última edición por Alriga; 04/02/2018, 14:21:35.
            "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

            Comentario


            • #7
              Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

              Hola Alriga como siempre graciaspor el aporte, tambien es estable el sistema girado a 45° planteado como



              masa x y
              Cuerpo 1 74 141 0 0 71
              Cuerpo 2 74 0 141 -71 0
              Cuerpo 3 74 -141 0 0 -71
              Cuerpo 4 74 0 -141 71 0

              que tambien curiosamente diverge al segundo 80 aproximadamente



              Por otro lado un sistema de cuatro cuerpos de masa dispuestos en rectangulo no en cuadrado cuya diagonal al baricentro sea donde ahora es un dato anecdótico para comparar ambas situaciones, se debería concluir con la fórmula de IsaacDL que la velocidad instantánea de rotación es la misma, sabemos de antemano que el sistema rotará en torno al baricentro, pero tambien lo harán entre sí los dos grupos de las masas mas próximas entre si, porque las fuerzas están desequilibradas sobre cada cuerpo, y el resultado obedece a una curiosidad matemática mas que a una razón física, me refiero a algo simulado como




              masa x y
              Cuerpo 1 74 64 126 63 -32
              Cuerpo 2 74 -64 -126 -63 32
              Cuerpo 3 74 64 -126 -63 -32
              Cuerpo 4 74 -64 126 63 32

              cuyo comportamiento es diferente aunque el módulo de la velocidad y la distancia al baricentro es la misma, que los ejemplos de simulación que propusiste.


              Sigo dandole vueltas al coco de porque el resultado al que llegamos con inaki no sería el correcto.....o buscar donde esta el detalle para hacer converger una formula en la otra....

              Comentario


              • #8
                Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

                Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
                que tambien curiosamente diverge al segundo 80 aproximadamente


                Imagino que la simulación empleará algún método numérico, tipo Runge-Kutta 4. Inevitablemente irá apartándose de la trayectoria correcta y el efecto será más notorio cuanto menos estable sea el sistema. En este caso, al ser un problema de más de dos cuerpos, es un sistema caótico con lo que cualquier pequeña diferencia (y el propio truncado de la precisión debido a la representación numérica, pero sobre todo por los errores introducidos por un tamaño de paso finito) llevará inevitablemente al sistema calculado hacia una trayectoria diferente de la que corresponde al delicado y precario equilibrio del enunciado del problema.

                Sobre el problema, yo también encuentro la expresión que ha escrito Richard en el mensaje #2, que no es equivalente a la que pone la solución del libro. Por tanto, yo también pienso que la del libro no es correcta.
                A mi amigo, a quien todo debo.

                Comentario


                • #9
                  Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

                  Escrito por arivasm Ver mensaje
                  ... Imagino que la simulación empleará algún método numérico, tipo Runge-Kutta 4 ...
                  Por si es de tu interés, en concreto el algoritmo que utiliza esa simulación se llama ALGORITMO DE VERLET

                  Saludos.
                  "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

                    he recapitulado pero no hallo error en mi planteo

                    la posición del centro de masas



                    la velocidad del centro de masas



                    la aceleración del centro de masas



                    sabiendo que y que

                    las velocidades relativas y aceleraciones relativas al centro de masas son las mismas que para el origen del sistema de referencias

                    etc...
                    etc...

                    como la velocidad angular es constante es facil demostrar que



                    la fuerza entre los cuerpos






                    podemos plantear el sistema de ecuaciones para cada masa











                    sabiendo que



                    podemos ver que



                    de donde





                    el modulo

                    y si rota sobre el CM su aceleración centrípeta para una orbita circular de radio es



                    igualando y despejando v

                    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


                    Pd intuyo que el resultado de isaacDL corresponde a un ejercicio donde cada cuarpo esta a la misma distancia uno del otro, para el caso de 4 cuerpos es un tetraedro (piramide de base triangular de lado a) pero no para un cuadrado.
                    Última edición por Richard R Richard; 04/02/2018, 21:11:48. Motivo: latex

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

                      Siguiendo el razonamiento que realiza Richard no encuentro errores, por lo que para mí también es correcta la expresión a la que él llega e incorrecta la del libro. Pero además se me ha ocurrido que podemos ver si esa solución concuerda con los resultados que ofrece el programa de simulación My Solar System.

                      Para ver si hay concordancia, primero he realizado varias simulaciones sencillas de 2 cuerpos y diferentes valores de masas, distancias y velocidades en movimientos conocidos, con el objetivo de averiguar cual es el valor de la Constante de Gravitación Universal "G" en las unidades de masa, distancia y velocidad que usa el programa, y he obtenido que el programa usa

                      Conocida "G" en las unidades del programa de simulación, con estos datos de la simulación del post #6 que nos da órbitas circulares para los 4 cuerpos, vamos a calcular la velocidad necesaria con las 2 fórmulas en disputa.


                      masa x y
                      Cuerpo 1 74 -100 -100 50 -50
                      Cuerpo 2 74 100 -100 50 50
                      Cuerpo 3 74 100 100 -50 50
                      Cuerpo 4 74 -100 100 -50 -50
                      Con la fórmula de Richard:

                      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                      Con la fórmula del libro:



                      Como la velocidad que hemos tenido que introducir en la simulación para conseguir la órbita circular es

                      La clara vencedora es,... la fórmula de Richard

                      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                      Saludos.
                      Última edición por Alriga; 05/02/2018, 17:53:31. Motivo: Presentación
                      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Problema de campo gravitatorio de cuatro cuerpos

                        Epa!!! me has aclarado para que sirven las simulaciones!!!, muy pero muy inteligente estuviste alriga para corroborar la formula. Un lujo como siempre. Saludos

                        Comentario

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