Resultados 1 al 3 de 3

Hilo: Circunferencia y recta

  1. #1
    Registro
    Sep 2017
    Posts
    27
    Nivel
    Secundaria
    ¡Gracias!
    3 (3 msgs.)

    Predeterminado Circunferencia y recta

    ¿Para qué valores de b la recta Y=x+b es tangente a la circunferencia {x}^{2 }+{y}^{2 }=9?
    Lo he intentado hacer, pero no se cómo.

  2. #2
    Registro
    Jan 2013
    Posts
    836
    Nivel
    Máster en Física
    Artículos de blog
    6
    ¡Gracias!
    242 (196 msgs.)

    Predeterminado Re: Circunferencia y recta

    Buenas. Tienes la ecuación de una circunferencia, y la de una recta que al darle valores a b la desplazas horizontalmente. Si te haces un dibujo, veras que tal recta solo puede ser tangente a la circunferencia en dos puntos (dos valores de x), tales que uno es el opuesto del otro. Para encontrarlo tienes que exigir que la pendiente de la función que describe una de las ramas del circulo (la de y\ge 0 por ejemplo) sea igual a la de la recta (osea, 1). Es decir, debes ver para que punto: (\sqrt{9-x^2})'=1. Si no me equivoco, sale x^2=9/2. En tal punto, \sqrt{9-x^2}=x+b, lo que te da el valor posible de b (si coges la rama positiva, debes sustituir el valor de x que es negativo). Sale b\approx 4.24. Si lo compruebas con un programa gráfico (yo te recomiendo geogebra pues te permite definir una función de x con un parámetro libre; b en este caso, y poder desplazar el valor de b para que veas cuando se hace tangente a la circunferencia), podrás estar más seguro de tus resultados.

    Espero haberme explicado. Un saludo.
    Última edición por sater; 12/03/2018 a las 22:03:25. Razón: añadir sugerencia
    "No se puede pactar con las dificultades. O las vencemos o nos vencen"

  3. El siguiente usuario da las gracias a sater por este mensaje tan útil:

    Sagitario A (12/03/2018)

  4. #3
    Registro
    Sep 2012
    Ubicación
    Argentina
    Posts
    1 123
    Nivel
    Universidad (Otras ciencias)
    ¡Gracias!
    517 (447 msgs.)

    Predeterminado Re: Circunferencia y recta

    Hola:

    Cita Escrito por Sagitario A Ver mensaje
    ¿Para qué valores de b la recta Y=x+b es tangente a la circunferencia {x}^{2 }+{y}^{2 }=9?
    Lo he intentado hacer, pero no se cómo.
    \dst \left\{ \begin{aligned} y & = + \sqrt{3^2 - x^2} \\ y & = x + b\end{aligned}

    Como en los puntos de intersección se cumple las abscisas y ordenadas del punto son las mismas para ambas curvas, tenemos:

    \dst + \sqrt{3^2 - x^2} = x + b

    \dst 3^2 - x^2 = x^2 + 2 b x + b^2

    Reagrupando:

    \dst  2 x^2 + 2 b x + ( b^2 - 3^2 ) = 0

    se verifica que esta ecuación también es valida para la otra rama de la circunferencia.
    La solución esta dada por la clasica:

    \dst x_{1,2} = \frac {- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a }

    con los valores del problema:

    \dst x_{1,2} = \frac {- 2 b \pm \sqrt{4 b^2 - 8  ( b^2 - 3^2 )}}{4 }

    Como la tangente comparte un solo punto con la circunferencia, tenemos que hacer que las raíces \dst x_{1,2} sean reales e iguales. Esto se logra solo cuando el radicando(?) es igual a cero, como sigue:

    \dst 4 b^2 - 8 ( b^2 - 3^2 ) = 0

    \dst - 4 b^2 + 72 = 0

    \dst b^2 = \frac{72}{4}

    Y así quedaría resuelto el problema.

    s.e.u.o.

    Suerte!
    No tengo miedo !!! - Marge Simpson
    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

  5. El siguiente usuario da las gracias a Breogan por este mensaje tan útil:

    Sagitario A (13/03/2018)

Información del hilo

Usuarios viendo este hilo

Ahora hay 1 usuarios viendo este hilo. (0 miembros y 1 visitantes)

Hilos similares

  1. Divulgación circunferencia dentro de otra
    Por polonio21 en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 29/08/2014, 18:04:19
  2. Secundaria geometría - circunferencia
    Por samaraya en foro Otras ciencias
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 25/01/2014, 04:39:52
  3. Secundaria Sobre circunferencia trigonometrica
    Por eduardo2384 en foro Métodos matemáticos
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 02/09/2011, 22:44:19
  4. 1r ciclo Circunferencia osculatriz a una hélice
    Por DamianV en foro Cálculo
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 05/12/2010, 06:14:38
  5. Otras carreras Grafica de la recta tangente y recta normal
    Por Patricio en foro Cálculo
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 30/11/2009, 06:26:25

Permisos de publicación

  • No puedes crear hilos
  • No puedes responder
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •