1r ciclo Momentos electromagnéticos

[The Higgs Particle]

Tenemos un solenoide infinito de radio a por el que circula una corriente I, siendo además n el número de espiras. A lo largo de su eje se le coloca una distribución lineal de carga $\lambda$. He de calcular los momentos -lineal y angular- electromagnéticos que generan.

No tengo claro si lo he hecho bien porque con tanta integral es sencillo perderse...

Primero, teniendo en cuenta:

$\dst \vec L_{em} = \int_V \frac{1}{c^2} \left( \vec r_n \times \vec S_p \right) \dd V \equiv$ mom. angular electromagnético

$\dst \vec p_{em}=\frac{1}{c^2} \int_V \vec S_p \dd V \equiv$ mom. lineal electromagnético

donde $\vec S_p$ es el vector de Poynting; $V$ imagino que es el volumen donde se hallan los campos $\vec E, \vec H$; $\vec r_n$ imagino que es el vector que une el punto donde calculamos el vector de Poyinting con las fuentes de ambos campos y $c$ es, por supuesto, la velocidad de la luz.

Entonces, primero calculo el vector de Poyinting (he de tener en cuenta sólo los campos en el interior porque fuera $\vec H$ se anula):

$\vec S_p = \vec E \times \vec H$

donde he calculado $\vec E$ por el th. Gauss: $\vec E = \dst \left( \frac{\lambda}{2 \pi \rho} \right) \hat{u_{\rho}}$, y para el $\vec H$ he tenido en cuenta el campo originado en el interior del solenoide -su dirección la he sacado por la regla de la mano derecha-: $\vec H = \mu_0 n I \hat{u_{z}}$. Luego:

$\vec S_p = \vec E \times \vec H = \dst \left( \frac{\lambda \mu_0 n I}{2 \pi \rho} \right) \hat{u_{\varphi}}$

Paso entonces ahora a calcular los diferentes momentos:

1) Angular.
Como parametrizaciones tenemos: $\vec r_n = \vec r - \vec r' = 0 - (\rho \hat{u_{\rho}} + z \hat{u_{z}})$ (al ser infinito, me tomo la libertad, para simplificar cálculos, de tomar el origen el centro del mismo, siendo así $\vec r = 0$), y $\dst \dd V= \rho \dd \varphi \dd \rho \dd z$. Así:

$\dst \vec L_{em} = \int_V \frac{1}{c^2} \left( \vec r_n \times \vec S_p \right) \dd V = \frac{1}{c^2} \left( \frac{-\lambda \mu_0 n I}{2 \pi} \right) \hat{u_z} \int_V \dd V + \frac{1}{c^2} \frac{\lambda \mu_0 n I}{2 \pi }$$\dst \int_{-L}^{L} \int_{0}^{a} \int_0^{2 \pi} z \hat{u_{\rho}} \dd \varphi \dd \rho \dd z= \left( \frac{-\lambda \mu_0 n I \rho^2 L}{c^2} \right) \hat{u_z} + \vec 0$

(he supuesto que el cilindro va de -L a L)

2) Lineal
Nuevamente, $\dd V= \rho \dd \varphi \dd \rho \dd z$, de modo que:

$\dst \vec p_{em}=\frac{1}{c^2} \int_V \vec S_p \dd V = \frac{\lambda \mu_0 n I}{2 \pi c^2} \int_{-L}^{L} \int_{0}^{a} \int_0^{2 \pi} \hat{u_{\varphi}} \dd \varphi \dd rho \dd z= \vec {0}$