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Hilo: Obtener el valor (números complejos)

  1. #1
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    Hola, tengo dificultades en determinar el valor de (\displaystyle\frac{1+itan(\displaystyle\frac{\pi}{8068})}{1-itan(\displaystyle\frac{\pi}{8068})}...
    La verdad no se como atacarlo
    EDITADO por error de tipeo
    De antemano gracias
    Última edición por cristianoceli; 15/05/2018 a las 15:50:39.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Obtener el valor (números complejos)

    ¿Lo has escrito bien? Lo digo porque "i" se simplifica y queda

    \left (\dfrac{i+i \ \tan(\pi/8068)}{i-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=\left (\dfrac{1+\tan(\pi...

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 15/05/2018 a las 14:11:52.
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  3. #3
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    Predeterminado Re: Obtener el valor (números complejos)

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    ¿Lo has escrito bien? Lo digo porque "i" se simplifica y queda

    \left (\dfrac{i+i \ \tan(\pi/8068)}{i-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=\left (\dfrac{1+\tan(\pi...

    Saludos.
    Si tienes razón ya lo edite

  4. #4
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    Predeterminado Re: Obtener el valor (números complejos)

    \left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}

    El módulo del numerador es:

    \sqrt{1^2+\tan^2(\pi/8068)} = M

    El módulo del denominador es también M=\sqrt{1^2+\tan^2(\pi/8068)}

    El argumento del numerador es \pi/8068 porque:

    \alpha=\arctan \dfrac {\tan (\pi/8060)}{1}=\arctan \Big (\tan (\pi/8060)\Big )=\pi/8060

    Operando igual, se ve que el argumento del denominador es \beta=-\pi/8068

    Por lo tanto

    \left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017} = \left (\dfrac{M \angle...

    =\Big (1 \angle (2\pi/8068)}\right \Big )^{2017}=1^{2017} \angle (2017\cdot 2 \pi/8068)=1 \angle ...

    \left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017} = i

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 15/05/2018 a las 21:32:19. Razón: LaTeX
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  5. #5
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    Predeterminado Re: Obtener el valor (números complejos)

    Hola:

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    \alpha=\arctan \dfrac {\tan (\pi/8060)}{1}=\arctan \Big (\tan (\pi/8060)\Big )=\pi/8060

    Operando igual, se ve que el argumento del denominador es \beta=-\pi/8068
    Creo que se debe tener en cuenta que \dst \arctan \left( \tan \alpha \right) = \alpha + n \  \pi \quad y \quad n \ \in \mathbb Z

    quedando:

    \alpha=\pi/8060 + n \pi \ con \ n \in \mathbb Z

    \beta=-\pi/8068 + m \pi \ con \ m \in \mathbb Z

    Y la solución no es única.

    Creo!!

    s.e.u.o.

    Suerte!!!
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  6. #6
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    Predeterminado Re: Obtener el valor (números complejos)

    Cita Escrito por Breogan Ver mensaje
    ... Y la solución no es única. Creo!! ...
    Sí es única, observa que en la expresión

    \left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}

    Solo existe una tangente de \pi /8068

    \tan (\pi/8068)=0.00038852

    Por lo tanto solo hay un único numerador y un único denominador. El cociente entre ambos es único y un número complejo multiplicado por sí mismo un número entero de veces, (2017 en este caso) también conduce a un único resultado.

    \left (\dfrac{1+i \ \tan(\pi/8068)}{1-i \ \tan(\pi/8068)}\right )^{2017}=i

    Naturalmente aunque la solución sea única, cualquier número complejo admite una expresión periódica en su forma módulo argumental:

    i=1\angle (\pi/2)=1\angle (\pi/2+2 k \pi) con k \in \mathbb Z

    Pero 1\angle (\pi/2) y 1\angle (\pi/2+2 \pi) no son números complejos distintos, ambos son "i"

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 16/05/2018 a las 15:00:05. Razón: LaTeX
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