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¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

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  • Secundaria ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    . . . . .x³
    ∫ ---------- dx = ? , tal_que x < 1
    .√ (1 – x² )

    Me da

    . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .3
    ------- • cos [ 3 (arc sin x) ] — ----- • cos (arc sin x) + C , tal_que x < 1
    . 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

    ¿Cómo hago para expresar este resultado con raíces cuadradas en vez de con arcos?
    Lo que más me interesa es cómo aclararme con el doble signo ±, ya que, a priori, cos (arc sin x) = ±√ (1 – x²); ¿qué signo deberé elegir?
    Última edición por siempreagradezco; 14/09/2018, 08:25:51.

  • #2
    Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    1) Creo que te has liado al resolver la integral, es más fácil que lo que a tí te sale:



    Hacemos el cambio de variable:




    Derivando:


    Multiplicando (1) x (2):



    Sustituyendo



    Solo queda hacer estas dos integrales inmediatas y deshacer el cambio de variable





    2) En cuanto a la pregunta de trigonometría. Si llamamos





    Una argumentación análoga permite también demostrar que

    Recuerda que para facilitar la inserción de expresiones matemáticas en el Foro, hay un compilador de LaTeX. El LaTeX es muy fácil, se aprende en media hora, mira este tutorial Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas Prueba y ejemplos de LaTeX. Recuerda también, que haciendo doble click en las fórmulas del foro puedes ver como está escritas en LaTeX

    Saludos.

    PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

    Última edición por Alriga; 17/09/2018, 15:04:51. Motivo: LaTeX
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

      Escrito por Alriga Ver mensaje
      Si llamamos



      De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo ?

      - - - Actualizado - - -

      Escrito por Alriga Ver mensaje
      PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

      Para intentar resolver la integral hice el cambio , lo que se obtiene es:


      Ahora bien, existe esta identidad trigonométrica:

      La obtuve linealizando con Euler.
      Por consiguiente:
      [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
      Tras deshacer se obtiene lo que dije.

      Comentario


      • #4
        Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

        Tienes razón, rigurosamente



        Escrito por Alriga Ver mensaje
        ... Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones) ...
        Vuelves a tener razón, la expresión


        Que conduce a



        Es correcta, solo que no es de tan fácil simplificación. Supongo que para simplificar habría que volver a aplicar la igualdad:



        Despejando:



        Y ahora sustituir en (1), deshacer el cambio, y aplicar que



        Saludos.
        "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

        Comentario


        • #5
          Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

          Hola a los dos.

          Escrito por Alriga Ver mensaje
          Tienes razón, rigurosamente

          Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez. Pasa lo mismo que con la raíz cuadrada normal y corriente: no es una función pero y sí lo son. Igual sucede con . Además la igualdad es incorrecta no solo por esto sino también por el motivo por el cual con el signo menos también es incorrecta:

          Escrito por siempreagradezco Ver mensaje
          De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo ?
          Es un tema de dominios e imagenes. Primero se aplica la función arcoseno así que voy a llamar para no liarnos. Queremos calcular . La clave del asunto está en que como entonces de forma que el único signo posible es el , es decir, la igualdad correcta es:

          [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

          La explicación es corta pero recomiendo ver estas gráficas para entenderlo mejor:

          Gráfica arcoseno
          Gráfica coseno
          Gráfica del coseno del arcoseno
          Gráfica raíz +
          Gráfica raíz -

          ¡Saludos!
          Última edición por Weip; 17/09/2018, 10:55:37.

          Comentario


          • #6
            Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

            Escrito por Weip Ver mensaje
            ... Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez ... Es un tema de dominios e imagenes ...
            Gracias por el aporte Weip, de acuerdo, entiendo que en efecto es un tema de dominios, tú has elegido para obligar a que el arcoseno sea función, pero si eliges entonces cualquier x excepto tiene dos arcosenos en el sentido trigonométrico, aunque no en el sentido “función”

            Dicho de otro modo, si a mí me preguntan a qué ángulo físico le corresponde un seno de 0.2 responderé que puede corresponder a un ángulo de 0.201358 rad o a uno de 2.940235 rad. No responderé:

            solo corresponde a un ángulo de 0.201358 rad porque si no, el arcoseno no sería función

            Y si ahora me piden el coseno de cada uno de esos dos ángulos, para el primero obtengo 0.979796 y para el segundo -0.979796

            x 0,2 0,2
            0,201358 2,940235
            0,979796 -0,979796
            0,979796 -0,979796
            Por lo tanto, entiendo que una respuesta correcta en sentido físico a



            Es



            Sin embargo, te doy la razón en que, como en este ejercicio pide una integral, ha de ser la integral de una función y entonces la única respuesta correcta al ejercicio es:



            El doble signo +/- no es una respuesta correcta a este ejercicio:



            Como es fácil de comprobar, escogiendo el signo (+) de delante de la raiz y derivando.

            Saludos.
            Última edición por Alriga; 17/09/2018, 15:18:48. Motivo: Mejorar explicación
            "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

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