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Hilo: calcular el area de la elipse

  1. #1
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    Predeterminado calcular el area de la elipse

    me podrian aydar por favor esq hay algunas q no entiendo como esto porq sale 4 seria de micha ayuda plis urge


  2. #2
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Hola

    Hace tiempo alguien preguntó lo mismo:

    http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=1968


  3. #3
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    si si lo vi pero lo q no entiendo es porq se pone 4

  4. #4
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Ahh eso ... bueno eso es porque esa integral calcula el área solamente la cuarta parte de área de la elipse, imagina a la elipse con su centro en el origen de coordenadas ... el área que representa esa integral es solamente de la parte ubicada en el primer cuadrante, si quieres el área total se tendrá que multiplicarla por cuatro.


  5. #5
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    Predeterminado

    AHHHH YA ENTENDI QUE SI NO LO PONES SOLO ESTASCALCULANDO LA CUARTA PARTE OOOO..
    OYE NO SE INTEGRAR MUY BIEN SE LO BASICO Y NO SE SI SERIA MOLESTIA QUE ME EXPLICRAS COMO IR INTEGRANDO, NO TE DIGO Q LO AGAS SI NO Q ME EXPLIQUES PARA ENTENDERLE DE UNA FORMa SIMPLE SII PORFA

    A SE ME OLVIDA estas integrales se hacen por cambio de variable o integracion por partes
    Última edición por [Beto]; 16/10/2008 a las 03:52:00. Razón: seguidos

  6. #6
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Cita Escrito por FANYTA Ver mensaje
    OYE NO SE INTEGRAR MUY BIEN SE LO BASICO Y NO SE SI SERIA MOLESTIA QUE ME EXPLICRAS COMO IR INTEGRANDO, NO TE DIGO Q LO AGAS SI NO Q ME EXPLIQUES PARA ENTENDERLE DE UNA FORMa SIMPLE SII PORFA
    Bueno pero antes, en la expresión que has puesto el problema ¿es solo que no sabes muy bien como integrar? ... en cuanto a los límites de las integrales ¿tienes dificultad para identificarlos o no?

    Con respecto a lo segundo, por partes no es.

    PD: escribe en minúsculas

  7. #7
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    mira lo q pasa no me gustaenredarme en terminos y cosas asi solo explicame de una forma sencilla si plis

  8. #8
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Cita Escrito por FANYTA Ver mensaje
    mira lo q pasa no me gustaenredarme en terminos y cosas asi solo explicame de una forma sencilla si plis
    Bueno, en realidad es sencillo, aunque supongo que lo que te puede confundir es ver x e y en una misma expresión.

    Lo que se hace es integrar primero respecto a una variable, y luego con respecto a la otra, por ejemplo para el caso de la elipse se tendría:

    A=4\int_0^b \dd y\int_0^{a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \dd x

    Para hallar los nuevos límites en los cuales tienes que integrar haces lo siguiente:

    I=\int \dd x=x

    Luego evaluando el los límites dados:

    \left.x\right\bigg|_0^{a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}}=a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}

    Hasta ahí acabamos con la parte de x, ahora lo que nos a quedado se lo integra respecto a y:

    A=4\int_0^ba\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}\dd y

    Ahora hacemos el cambio de variable

     \sin\theta=\frac{y}{b}\Longrightarrow \cos\theta\dd\theta=\frac{\dd y}{b}\Longrightarrow\dd y=b\...

    Para encontrar los nuevos límites en los cuales vas a integrar haces lo siguiente:

    \begin{aligned} 
y=0\Longrightarrow\sin\theta=0&\Longrightarrow\theta=0 \\ 
y=b\Longrightarrow\si...

    Por tanto tu nueva integral sería:

    A=4ab\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2\theta}(\underbrace{b\cos\theta\dd\theta}_{\dd y})

    Operando un poco:

    A=4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\dd\theta

    Y esto resulta:

    A=4ab\left[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin2\theta\right]_0^{\pi/2}

    Y evaluando en los límites que te dan se obtiene la respuesta.

    Si así te parece complicado, en el enlace anterior hay una forma más bonita de hacer el cambio de variable, el procedimiento es el mismo:

    http://forum.lawebdefisica.com/showp...5&postcount=12

    Si hay algo que no se entienda pregunta.

  9. #9
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Otra manera, tal vez más elegante pero no tan estándar, es con el uso del teorema de Green-Riemann para evaluar la integral pedida.

    Sabemos que por este teorema, tenemos

    \displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) ...

    donde la integral de línea se evalúa a lo largo de la frontera de D, \partial D, recorriendo esta curva con la orientación positiva. Como nos interesa el área de la región D, tenemos que buscar dos campos escalares Q y P tales que el integrando del primer miembro sea 1; en esta búsqueda, podemos encontrarnos con estas integrales:

    \displaystyle \oint xdy = - \oint ydx = \frac{1}{2} \oint xdy - ydx

    Tomamos la última integral. Ahora hemos de definir la curva por la cual realizar estar integral:

    \partial D^+ \equiv \gamma:[0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2

    \gamma (t) = (a \cos t, b \sin t)

    De esta manera

    \displaystyle A = \frac{1}{2} \oint xdy - ydx = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} (ab \cos ^2 t + ab \si...

    Saludos.
    Última edición por Metaleer; 19/11/2008 a las 16:44:57.

  10. #10
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Pienso que usar integrales dobles para calcular esta area, es como matar hormigas con un tanque... quizas sea mas facil usando la ecuacion de la elipse

    \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

    despejamos y calculamos el area del semieje mayor

    \[ 
2\int_{ - a}^a {b\sqrt {1 - \frac{{x^2 }} 
{{a^2 }}} dx}  = \frac{{2b}} 
{a}\underbrace {\int...

    Saludos

  11. #11
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Cita Escrito por Nachop Ver mensaje
    Pienso que usar integrales dobles para calcular esta area, es como matar hormigas con un tanque... quizas sea mas facil usando la ecuacion de la elipse

    \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

    despejamos y calculamos el area del semieje mayor

    \[ 
2\int_{ - a}^a {b\sqrt {1 - \frac{{x^2 }} 
{{a^2 }}} dx}  = \frac{{2b}} 
{a}\underbrace {\int...

    Saludos
    Bueno, no es que sea "matar hormigas con un tanque", es que es equivalente a lo que has hecho; el integrando que has puesto es el resultado de la primera integral El método de las integrales dobles es más sistemático, y por lo tanto no exige pensar tanto.
    "No he fracasado, sólo he encontrado 10000 formas que no funcionan",Thomas Edison
    "Sólo aquellos que intenten lo absurdo conseguirán lo imposible", M.C. Escher
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  12. #12
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    Predeterminado Re: calcular el area de la elipse

    Un consejo:

    Hay que ir acostumbrándose a tomar las coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas, esféricas) según la simetría del problema porque hacen las integrales muchísimo mas fáciles al desacoplarse las coordenadas y no aparecer ninguna variable en los límites de integración.

    Así, aquí usando polares es coser y cantar...

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