Secundaria Ecuaciones Diferenciales

[ceregen]

Si alguien me puede ayudar con estas ED no se como hacer con las varaibles que aparecen con el signo de Derivada.
Jose

[Metaleer]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Hola.

Las dos son lineales de primer orden no homogéneas.

Para estas ecuaciones se suele hacer lo siguiente:

1°) Caer en la cuenta de que al ser una ecuación lineal, la solución general viene dada por la solución completa de la homogénea asociada, más una solución particular de la ecuación completa.

2°) La solución completa de la homogénea asociada se obtiene resolviendo evidentemente la ecuación homogénea asociada. Es decir, si tienes que la ecuación diferencial de primer orden lineal es:

$y' + P(x)y = f(x)$

La homogénea asociada será:

$y' + P(x)y = 0$

Y ésta la resuelves fácilmente siempre por separación de variables.

3°) Para encontrar la solución particular, supones que la constante de integración de la solución de la homogénea asociada es función de la variable independiente $x$, método de Lagrange, de la variación de la constante o del parámetro.

4°) Suponiendo lo del apartado tercero, llevas la solución de la homogénea a la ecuación diferencial completa original y resuelves la ecuación de variables separables y obtienes la forma analítica de la constante supuesta variable (o si la integral resultante es muy difícil o no posee primitiva en términos de funciones elementales, lo dejas indicado).

5°) Llevas esta constante supuesta variable a la solución de la homogénea (incluyendo la constante de integración) y ya debes tener la solución general, en la siguiente manera:

$y = \alpha y_{homo} + y_p$

donde $\alpha$ es una constante de integración, $y_{homo}$ es la solución de la homogénea asociada e $y_p$ es la solución particular.

Alternativamente, puedes también tener en cuenta que para este tipo de ecuaciones diferenciales, siempre puedes suponer que tienes un factor integrante que sólo depende de la variable independiente $x$, que lo usas para convertirla en ecuación diferencial exacta, obtener la función potencial e igualar ésta a una constante, obteniendo así la solución general en forma implícita.

Saludos.

[alespa07]

Re: Ecuaciones Diferenciales

Para encontrar el dominio de validez de la solución general tienes que usar el teorema de existencia y unicidad. Para ello tienes que normalizar la ecuación, es decir ponerla en la forma dy/dx=f(x,y) y ver cual es el dominio en el cual f es continua respecto de x, y y que la parcial de f respecto de y tambien lo es. En dicho intervalo la solucion existe y es única.
Por ejemplo, en tu segunda ecuación te queda que dy/dx=1/x(exp(-x)+Ln(x)-2y que es continua para todo x>0 y todo y real. La parcial respecto de y te da -2/x que te vuelve a dar la condición x diferente de 0. Así el dominio será (0,inf)*R.
Como dice Metaleer tienes que reconocer que son ecuaciones "lineales" de primer orden porque tienen la forma y'+P(x)y=Q(x). Lo ue puedes hacer para no tener que separar homogenea y particular es plantear el cambio de variable y(x)=u(x)*v(x) y te quedará reagrupando que u(v'+P(x)v)+u'v=Q(x). Ahora viene el truco: puedes elegir arbitrariamente v(x) y la u(x) vendrá determinada por esta elección entonces eliges que v(x) cumpla que v'+P(x)v=0 y resuelves hasta obtener v(x). Luego solo te queda la ecuacion u'v=Q(x) o u'(x)=Q(x)/v(x) que puedes integrar. Finalmente tu solución es y=uv. Recuerda que al ser de primer orden solo debe habr una constante y es la que aparece al integrar u' ya que v es arbitraria y la constante que te aparece al resolver v'+P(x)v=0 la puedes escoger como te de la gana (0 si esta sumando o 1 si esta multiplicando).
Este método es práctico si todavía no os han enseñado el método de variación de constantes por ejemplo. Espero haberte ayudado.