Otras carreras Corriente inducida en una espira

[Lectos]

Hola

Quisiera que me guiaran un poco con este problema que ya de plano no se como empezar.

Un alambre muy largo lleva una corriente I que se incrementa con el tiempo. Cerca del alambre hay una espira de lado a con resistencia R a una distancia d como se muestra en la figura. Calcula la magnitud de la corriente inducida en la espira.

Gracias de antemano

[Metaleer]

Re: Corriente inducida en una espira

Hola.

En primer lugar, debes calcular el flujo que atraviesa la espira, teniendo en cuenta que la inducción magnética de un cable infinito es

$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi r},$

con $r$ la distancia medida desde el cable, y luego teniendo en cuenta la definición de flujo del vector $\mathbf{B}$:

$\displaystyle \text{Flujo}(\mathbf{B}) = \phi (\mathbf{B}) = \int_\text{espira} \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} ds,$

con $\mathbf{n}$ un vector normal unitario perpendicular al plano de la espira, tomado positivo hacia fuera. Como la intensidad $I$ tiene el sentido que viene indicado en la figura, el producto escalar será:

$\displaystyle\mathbf{B} \cdot \mathbf{n} = - \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi r}.$

El elemento diferencial de área $ds$ será $a dr$, por tanto

$\displaystyle \text{Flujo}(\mathbf{B}) = - \int_{d}^{d+a} \frac{\mu_0 I(t)}{2 \pi r}a dr = \frac{\mu_0 I(t)a}{2\pi}\int_{d+a}^{d}\frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I(t)a}{2\pi} \ln\left(\frac{d}{d+a}\right).$

Por otra parte la ley de Faraday-Lenz dice lo siguiente

$\displaystyle \text{FEM}_\text{inducida} = V = -\frac{d \phi}{dt} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(\frac{d+a}{d}\right)\frac{dI}{dt},$

y sólo resta aplicar la ley de Ohm:

$\displaystyle V = I_{\text{espira}}R \Rightarrow \boxed{I_{\text{espira}} = \frac{\mu_0 a}{2\pi R} \ln\left(\frac{d+a}{d}\right)\frac{dI}{dt}.}$

Saludos.