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[Aradan]

Holas, tengo una duda con un problema de tensores, dice:

If $B_{ij}X^i X^j = 0$ for all $X^i$, show that $B_{ij}= - B_{ji}$

Yo tenía $B_{ij} X^i X^j = B_{ji}X^j X^i = 0$ , luego sumo ambas igualdades, cambio de orden los $X^i$ (esto no se totalmente si está bien) y me da la igualdad. Lo que me preocupa es que no encuentro muy formal hacer eso.

También me preguntaba que si tenía $B_{ij}X^i X^j = 0$ y $B_{ji}X^j X^i = 0$ , podía restar y me daría $B_{ij}= B_{ji}$ y creo que estoy confundiendo algo ahí, porque si se cumplieran ambas, me darían cero los tensores


El segundo problema del mismo estilo dice que si $B_{ij}X^i Y^j = 0$ para todo $X^i$ , $Y^j$, entonces $B_{ij}= 0$

Supongo que debe hacerse algo parecido , o quizás usar un delta de Kronecker

Gracias

[pod]

Re: Tensores

Holas, tengo una duda con un problema de tensores, dice:

If $B_{ij}X^i X^j = 0$ for all $X^i$, show that $B_{ij}= - B_{ji}$

Yo tenía $B_{ij} X^i X^j = B_{ji}X^j X^i = 0$ , luego sumo ambas igualdades, cambio de orden los $X^i$ (esto no se totalmente si está bien) y me da la igualdad. Lo que me preocupa es que no encuentro muy formal hacer eso.

Como $X^i$ son números, está claro que $X^i X^j = X^j X^i$ (igual que a b = b a), por lo tanto es cierto que

$$X^i X^j = \frac12 \Big( X^i X^j + X^j X^i \Big) \ .$$

Ahora, contraigo con el tensor de orden dos,

$$B_{ij} X^i X^j = \frac12 \Big( B_{ij} X^i X^j + B_{ij} X^j X^i \Big)\ .$$

Como los índices son mudos, yo puedo cambiarles el nombre si me da la gana. Por ejemplo, me da la gana de, en el primer termino, cambiar $i \to a$ y $j \to b$. Mientras que en el segundo término hago al revés, $i \to b$ y $j \to a$ (como son sumatorios independientes, no hay problema en hacer "renombraciones" diferentes), por lo tanto me queda

$$B_{ij} X^i X^j = \frac12 \Big( B_{ab} X^a X^b + B_{ba} X^b X^a \Big) = \frac12 (B_{ab} + B_{ba} ) X^a X^b\ .$$

Esto es verdad para siempre jamás. Cuando un tensor está contraído con algo que es simétrico (como $X^i X^j$) sólo contribuye la parte simétrica de ese tensor.

Ahora, imponemos que esto es cero. Como esto es válido para cualquier valor de las $X^i$, la única solución es que sea cero el paréntesi, por lo tanto:

$$B_{ij} = - B_{ji}\ .$$

También me preguntaba que si tenía $B_{ij}X^i X^j = 0$ y $B_{ji}X^j X^i = 0$ , podía restar y me daría $B_{ij}= B_{ji}$ y creo que estoy confundiendo algo ahí, porque si se cumplieran ambas, me darían cero los tensores

Si restas te da cero por que los dos términos te dan cero. Pero eso no te da permiso a sacar factor común. Para demostrar algo, tienes que desarrollar la expresión iniciar y ver donde llegas, como hice antes.

Para que lo veas claro, el error que cometes es similar a:

$$0 ( 1 - 2 ) = 0 \longrightarrow 1 = 2\ .$$

El segundo problema del mismo estilo dice que si $B_{ij}X^i Y^j = 0$ para todo $X^i$ , $Y^j$, entonces $B_{ij}= 0$

Supongo que debe hacerse algo parecido , o quizás usar un delta de Kronecker

Gracias

En realidad, el procedimiento es muy difernete. Como te dicen "para todo $X^i$ , $Y^j$", significa que la igualdad debe cumplirse para cualquier elección que tú hagas de esos vectores. A mi me da la gana elegir $X^i = \delta^{i1}$ y $Y^j = \delta^{j2}$. Con esta elección, está claro que

$$B_{ij} X^i Y^j = B_{12}\ .$$

Si la contracción debe ser cero para todos los valores de los vectores, para este también y tenemos $B_{12} = 0$.

Haciendo otra elección, $X^i = \delta^{ia}$ e $Y^j = \delta^{jb}$, siempre encontraré $B_{ab}=0$. Como puedo hacerlo para cualquier componente, todas son cero. QED.

[Aradan]

Re: Tensores

Me quedó todo muy claro