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Demostración teorema de Helmholtz

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  • 1r ciclo Demostración teorema de Helmholtz

    ¡Saludos!

    Mi duda surge a raíz de estudiar el teorema de Helmholtz en Electromagnetismo, pero como mi duda va en abstracto, no en particular aplicado a esta rama, creo que corresponde a este subforo xD si no, pues ya lo siento U

    Bien, mi duda es: ¿cómo se demuestra el teorema de Helmholtz? Más precisamente, ¿de dónde salen las expresiones siguientes?:





    Donde las coordenadas primadas se refieren a donde se encuentran las fuentes, las coordenadas sin primar a donde calculamos cada uno de los potenciales y:






    He buscado por internet y encuentro demostraciones de que las expresiones integrales son identidades; o sea, aplica el operador nabla a las dos integrales y se ve que la igualdad se satisface. Sin embargo, lo que desconozco es de cómo se llega a dichas expresiones, precisamente. El factor 4pi me lleva a pensar que tendrá que ver con que



    pero no se me ocurre nada...¿alguna idea? Gracias de antemano =)

    K.

  • #2
    Re: Demostración teorema de Helmholtz

    Escrito por KyAlOx Ver mensaje
    He buscado por internet y encuentro demostraciones de que las expresiones integrales son identidades; o sea, aplica el operador nabla a las dos integrales y se ve que la igualdad se satisface. Sin embargo, lo que desconozco es de cómo se llega a dichas expresiones, precisamente. El factor 4pi me lleva a pensar que tendrá que ver con que

    Si no me equivoco al transformar esa expresión diferencial en una integral, y luego integrar alrededor de un volumen cerrado v, ese aparece debido a que el ángulo sólido tiene esa medida.

    Comentario


    • #3
      Re: Demostración teorema de Helmholtz

      Escrito por [Beto] Ver mensaje
      Si no me equivoco al transformar esa expresión diferencial en una integral, y luego integrar alrededor de un volumen cerrado v, ese aparece debido a que el ángulo sólido tiene esa medida.
      Sí, esa integral la he hecho xD las integrales que no sé de dónde salen son las del cálculo de y A. Imagino que consiste en tomar la integral de volumen de algo y desarrollar, pero no acabo de verlo...>.< O sea, no sé cómo se deducen las dos primeras expresiones de mi post anterior.

      Gracias en cualquier caso =)

      K.

      Comentario


      • #4
        Re: Demostración teorema de Helmholtz

        Son casos especiales de la funcion de green.

        Comentario


        • #5
          Re: Demostración teorema de Helmholtz

          Hola:

          El teorema de Helmholtz nos dice que todo campo vectorial puede ser expresado univocamente como la suma del gradiente de una función escalar (cambiado de signo) y el rotor de un campo vectorial, o mas genéricamente todo campo vectorial se puede expresar como la suma de un campo irrotacional y un campo senoidal

          Escrito por KyAlOx Ver mensaje


          La forma mas fácil de demostrarlo es partiendo de la identidad vectorial del rotor del rotor de un campo vectorial auxiliar que llamaremos , tenemos:


          Ahora vamos a renombrar cada uno de los miembros de la igualdad anterior:

          es un campo vectorial cualquiera (por ser el Laplaciano de un campo vectoial) que podemos llamar :


          La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, que lo vamos a llamar :


          El rotor de un campo vectorial es un campo vectoria que podemos llamar :


          Reemplazando (2), (3), y (4) en (1) nos queda:


          Reordenando la ecuación (5) queda:


          La ecuación (6) es el teorema de Helmholtz, ahora si a está ecuación le aplicas el rotor en ambos miembros resulta:


          o la divergencia quedando:


          Las ecuaciones (7), y (8) son ecuaciones de Poisson cuya solución son un caso particular de la aplicacion de la función de Green, y la solución son las integrales que pusiste en tu mensaje.

          s.e.u.o.

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