Ecuaciones de Maxwell

El electromagnetismo es la teoría que estudia el campo asociado a las cargas y a las corrientes de las mismas. La carga es una cantidad conservada y es una característica inherente a las partículas elementales.

Tanto la generación de campos electromagnéticos como su relación con las cargas está descrito por cuatro ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell por razones obvias.

Dividamos en dos pares, el primer par:

$\nabla B = 0$
$\nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t}=0$

Y el segundo:

$\nabla E = \rho$
$\nabla \times B - \frac{\partial E}{\partial t}=j$

E y B, son los campos eléctrico (no necesariamente electroestáticos) y magnético respectivamente. $\rho$ es la densidad de carga en una región y $j$ la densidad de corriente.

Lo interesante es que estas cuatro ecuaciones (junto a la ley de Lorentz) codifican todos los procesos electromagnéticos.

Una excelente exposición la podemos encontrar en esta misma página.

Donde podremos encontrar las relaciones diferenciales e integrales de estas ecuaciones y su explicación y relación con la relatividad.

Sin embargo, como todo esto esta suficientemente explicado en muchos sitios me gustaría decir algo sobre un tema que usualmente no se toca:

Ecuaciones de Maxwell en el Vacio

$\nabla B = 0$
$\nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t}=0$

En el vacio no tenemos cargas ni ondas electromagnéticas, pero podemos tener campos, con lo cual el segundo par queda:

$\nabla E = 0$
$\nabla \times B - \frac{\partial E}{\partial t}=0$


Lo que se percibe es que salvo un cambio de signo las ecuaciones son totalmente simétricas. De hecho si efectuamos estos cambios: E -> -B y B->E, las ecuaciones no se enteran del cambio.

Esta es la primera manifestación de una dualidad en física (una de las primeras). Uno podría estudiar un problema eléctrico en términos de un magnético en caso de ser más simple.

De hecho, si definimos:

$\beta = E -iB$

La ecuaciones colapsan en:

$\nabla \beta = 0$
$\nabla \times \beta -i \frac{\partial \beta}{\partial t}=0$

Esto tiene una importancia capital.