Espacio métrico

[SO3]

Un espacio métrico es un par (X, d) donde X es un conjunto los elementos del cual se llaman puntos y d es la distancia
La distancia debe cumplir

$\begin{gathered}<br /> d : X\times X \rightarrow \mathbb{R}\\<br /> d(x,y) \geq 0 \textrm{ con } d(x,y) = 0 sii x = y\\<br /> d(x, y) = d(y,x)\\<br /> d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)\end{gathered}$

En un espacio métrico se llama bola abierta centrada en x y radio $\epsion>0$ a $B(x, \epsilon) = \{y\inX | d(x,y) < \epsilon\}$

Un subconjunto S de X se dice que es entorno de un punto x si
$\exists \epsilon | B(x, \epsilon) \subseteq S$

La familia de entornos se escribe como $\varepsilon(x)$ (en un espacio métrico se cumple el primer axioma de numerabilidad)

Un subconjunto S de X se llama abierto si para todo elemento de S, S es entorno de ese elemento (es decir, existe una bola centrada en ese elemento que esta completamente comprendida en S)
$\forall x \in S \rightarrow \exists \epsilon | B(x, \epsilon) \subseteq S$

Toda bola abierta es un subconjunto abierto, sea $x\in X$ $\epsilon>0$
$\begin{gathered}<br /> \forall y \in B(x, \epsilon)\ , \qquad<br /> \delta = \epsilon - d(x,y)\\<br /> B(y, \delta) = \{ z \in X | d(y,z) < \delta\}\\<br /> \begin{aligned}\forall z \in B(y,\delta), d(x,z) \leq d(x,y) + d(y, z) < d(x,y) + \delta &= d(x,y) + \epsilon - d(x,y) \\& = \epsilon\rightarrow z \in B(x, \epsilon)\end{aligned}\end{gathered}$

[SO3]

Una distancia no es bilineal definida positiva, eso no tiene sentido si X no es espacio vectorial.