En la última década del siglo pasado dos grupos de investigación se lanzaron al estudio de las Supernovas Tipo Ia situadas a distancias cosmológicas, con el objetivo de cuantificar con la máxima precisión que permitían los últimos medios observacionales el freno que la gravedad debía de estar imponiendo a la expansión del Universo. Los dos grupos eran Supernova Cosmology Project y The High-z SN Search

En esa década de los 1990s, la hipótesis de que el Universo estaba en expansión era un hecho incontestable desde hacía 60 años, ya que era una de las soluciones naturales de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General (Friedmann 1922, Lemaître 1927), y contaba con evidencia experimental desde las observaciones del corrimiento al rojo de las galaxias de Slipher, Hubble y Humason poco antes de 1930.

Se sabía que el Universo estaba en expansión y, como la única fuerza conocida que actuaba sobre él a gran escala era la gravedad, ésta debía estar frenando la expansión: el objetivo de ambos grupos de investigación era cuantificar en qué grado exacto la gravedad frenaba la expansión, es decir buscaban el valor numérico del parámetro de deceleración.

Pero el resultado de ambos estudios arrojó una sorpresa que no se veía en el mundo de la Física desde el experimento de Michelson-Morley, que pretendía medir la velocidad de la Tierra respecto del éter y resultó que esa velocidad era nula en cualquier dirección, lo que llevó a desterrar el éter de la Física.

En Cosmología, el indicador de la expansión del Universo es el Factor de Escalaa” una cifra adimensional que indica la relación entre la distancia que separa dos puntos del universo en un instante dado, respecto de la distancia que los separa en otro instante tomado como referencia.

Habitualmente las distancias actuales son las que se toman como referencia, es decir se toma que actualmente a=1, y como el Universo se ha estado y está expandiendo, en el pasado a<1 y en el futuro (al menos el cercano), a>1

Si representamos el factor de escala en función del tiempo desde el big-bang, en los 1990s se esperaba observar:

(1). Una función creciente, es decir la expansión del Universo ha hecho que desde el inicio hasta ahora las distancias siempre se hayan estado incrementando. Eso matemáticamente significa que la pendiente de la función = la derivada temporal del factor de escala = la velocidad de expansión, ha sido siempre positiva hasta ahora.

(2). Una función cóncava. Aunque el factor de escala siempre haya podido estar creciendo, si la única fuerza significativa que actúa es la gravedad que es atractiva, la velocidad ha debido ir disminuyendo = aceleración negativa del factor de escala = matemáticamente, que la derivada segunda del factor de escala debía ser siempre negativa.

Ambos grupos de trabajo presentaron en 1998 las conclusiones de sus observaciones, que puestas en forma de gráfico de la evolución del factor de escala (ordenadas) en el tiempo (abcisas en millones de años), daba como resultado un gráfico como este:

Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Factor Escala - tiempo.jpg Vitas:	1 Tamaño:	60,0 KB ID:	340883


¡¡ Tremenda sorpresa !!: de los 13.787 millones de años de vida del Universo, las previsiones (1) y (2) se cumplen hasta hace algo más de 6 mil millones de años, el instante marcado con el punto negro en el gráfico. Desde el inicio hasta ese punto la función factor de escala es creciente y cóncava, (aceleración negativa) Pero a partir de ese instante las observaciones constatan que sólo se cumple (1) y no (2), la función es creciente y convexa, es decir la aceleración del factor de escala es positiva, “la expansión del Universo se está acelerando”

En principio el resultado pareció increíble, y solo cuando se van sumando nuevas observaciones por parte de otros grupos y con métodos diferentes se acaba aceptando la realidad: pero han de transcurrir 13 años hasta que al fin la evidencia sea tan fuerte que los líderes de “Supernova Cosmology Project” y “The High-z SN Search” reciban en 2011 el Premio Nobel de Física.

¿Cómo es posible que se esté acelerando la expansión del Universo? Hasta 1998 se pensaba que la composición energética del Universo estaba constituida exclusivamente por materia y radiación, dos tipos de energía que son “atractivas” y por lo tanto ambas frenan la expansión.

El resultado de las observaciones implicaba que en el Universo había un tercer componente, al que en un “alarde de imaginación” se le llamó Energía Oscura, que a diferencia de materia y radiación, tenía la propiedad de ejercer una presión negativa y que además resultaba que actualmente constituía casi el 70% de todo el contenido energético del Universo.

La caracterización cuantitativa más simple de la energía oscura es asociarla a la Constante Cosmológica, introducida por Einstein en 1917 en sus Ecuaciones de Campo cuando intentaba forzar un universo estático que estuviera en consonancia con los prejuicios de la época. Pero hacia 1931, Einstein finalmente se convenció de la expansión del Universo, tras las observaciones de Hubble y sobre todo tras la demostración de Eddington de que incluso con constante cosmológica el universo de la Relatividad General no podía ser estático puesto que sería inestable. Con ello la constante cosmológica, (para Einstein según la leyenda “el mayor error de su vida”), desapareció de las Ecuaciones de Campo durante casi 70 años.

La recuperación de la Constante Cosmológica () y su reincorporación a las Ecuaciones de Fridman permite caracterizar cuantitativamente el actual modelo cosmológico concordante, conocido como Modelo ΛCDM (LambdaCDM, Lambda Cold Dark Matter)

El objetivo final del presente artículo es el cálculo del instante en el que la aceleración de la expansión del universo dejo de ser negativa y pasó a ser positiva. Y para ello pretendemos utilizar simples conocimientos básicos de bachillerato: aplicar que en el instante en el que la aceleración es nula, (la función pasa de cóncava a convexa = punto de inflexión), la derivada segunda ha de ser nula.

Si tuviésemos la expresión explícita del factor de escala “a” en función del tiempo “t”



derivaríamos 2 veces, igualaríamos a cero y despejaríamos el valor del tiempo “t” en el que la aceleración fue cero. No existe función explícita en el caso general, pero hay un método alternativo para hallar la derivada segunda, es usando la Ley de Hubble - Lemaître generalizada, ley que se deduce de las Ecuaciones de Friedmann y que establece:


H es el Parámetro de Hubble y es función del tiempo. Usamos el convenio habitual de que un punto sobre una variable es su derivada temporal y dos puntos la derivada segunda respecto del tiempo. Derivamos ese producto:




Tampoco hay expresión explícita del Parámetro de Hubble H en función del tiempo, pero sí en función del factor de escala:


es la Constante de Hubble = Parámetro de Hubble en el momento actual y las Omegas son los ratios de densidad actuales de las energías que componen el Universo, respectivamente: Radiación R, Materia (oscura + bariónica) M, y Energía Oscura Λ.



Derivando H respecto del tiempo aplicando la regla de la cadena, (derivada de una función de función) obtenemos:



Sustituyendo según (1) y simplificando obtenemos la derivada del Parámetro de Hubble:


Sustituyendo (4) en la expresión (2) y simplificando se obtiene que el valor de la aceleración del factor de escala es:


Haciendo ahora obtendremos la ecuación que cumple el factor de escala del punto de inflexión:



Los valores de los ratios de densidad según los mejores datos de los que se dispone actualmente, que han sido publicados por la Colaboración Planck en 2018 son:







Al nivel de precisión que estamos trabajando es lícito considerar despreciable esta última densidad, entonces la ecuación de 4º grado se simplifica y se obtiene:





Eso significa que el punto de inflexión tuvo lugar cuando las distancias en el Universo eran el 60.9% de las distancias actuales. A título meramente informativo, a este factor de escala le corresponde un desplazamiento al rojo (redshift) de:



Perfecto, ya sabemos en qué factor de escala tuvo lugar el punto de inflexión, ahora solo queda calcular en que instante de tiempo cósmico se dio ese factor de escala. La integración de las ecuaciones de Friedmann establece que el tiempo cósmico se puede calcular como:


De nuevo despreciando la densidad de radiación, y ahora además considerando que según las mejores observaciones de las que disponemos actualmente el Universo es euclídeo, se obtiene para la integral la siguiente aproximación:





Sustituyendo valores con (km/s)/Mpc según el Satélite Planck, se obtiene que el universo empezó su expansión acelerada con una edad de:

millones de años

Como la edad actual del Universo es de 13787 millones de años, eso sucedió hace millones de años.


ANEXO: Obsérvese que en ausencia de constante cosmológica en el Universo, es decir si se cumpliese:



La expresión de la aceleración del factor de escala (5) se convierte en:


En esta última expresión todos los parámetros del miembro derecho de la igualdad son positivos por definición, es decir:



Por lo tanto se cumpliría que la aceleración debería ser siempre negativa, en cualquier momento del universo, conclusión:

Sin constante cosmológica no puede haber punto de inflexión ni aceleración positiva de la expansión del Universo. Ésta era la situación que esperaban encontrar Supernova Cosmology Project y The High-z SN Search cuando iniciaron el estudio de las SNe Ia, de ahí su tremenda sorpresa cuando sus medidas concluyeron que la aceleración era positiva desde hace 6 mil millones de años.

Título en inglés: The beginning of the accelerated expansion of the Universe: the acceleration of the scale factor.

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