Planeta estacionario, en movimiento retrógrado y en movimiento directo. Cálculo

[Alriga]

El Sol se mueve siempre aparentemente en sentido antihorario respecto del fondo de “estrellas fijas” visto desde el polo norte de la eclíptica. A ese sentido de giro se le llama “sentido directo” y es en el sentido en el que también se mueve la Luna respecto de las estrellas.

Y los antiguos observaron que en general, los planetas también se movían en movimiento directo la mayor parte del tiempo, pero que todos ellos circunstancialmente se detenían, invertían su movimiento y durante un tiempo se movían en sentido horario (llamado movimiento retrógrado), para después volverse a detener y recuperar el movimiento directo. Para explicar estos períodos de movimiento retrogrado desde un modelo geocéntrico, inventaron los epiciclos.

Al instante en el que el planeta que estaba en movimiento directo se detiene y pasa a movimiento retrógrado (y viceversa, al instante en el que el planeta que estaba en movimiento retrógrado se detiene y pasa a movimiento directo), se le denomina con el nombre del planeta seguido de la palabra “estacionario”. Así, podemos leer en los anuarios de efemérides astronómicas fechas en las que por ejemplo aparece “Venus estacionario” o “Saturno estacionario”

Cuando Copérnico presentó su modelo heliocéntrico demostró que éste predecía sin problemas tanto los momentos estacionarios como los períodos de movimiento retrógrado y directo de los planetas vistos desde la Tierra:

El objetivo del presente artículo es calcular los momentos estacionarios y los períodos de movimiento directo y retrógrado de los planetas partiendo de algunas simplificaciones: vamos a suponer que la Tierra y el planeta estudiado tienen órbitas circulares, coplanarias (el plano orbital es el de la eclíptica) con centro en el Sol y recorridas con velocidad constante.

• $\vec r_1$ es el vector de posición heliocéntrico de la Tierra
• $\vec r_2$ es el vector de posición heliocéntrico del planeta considerado
• $\vec v_1$ es la velocidad heliocéntrica de la Tierra
• $\vec v_2$ es la velocidad heliocéntrica del planeta
• $\vec n_1$ es la velocidad angular heliocéntrica de la Tierra
• $\vec n_2$ es la velocidad angular heliocéntrica del planeta

Por cinemática básica sabemos:

$$\left. \begin{aligned} \vec v_1 & =\vec n_1 \times \vec r_1 \\ \vec v_2 & =\vec n_2 \times \vec r_2 \end{aligned} \quad \right\}$$

En donde el aspa $\times$ significa producto vectorial. Como lo que queremos estudiar es el movimiento relativo del planeta visto desde la Tierra, el vector de posición geocéntrico y la velocidad geocéntrica del planeta serán respectivamente:

$$\left. \begin{aligned} \vec r & =\vec r_2 - \vec r_1 \\ \vec v & =\vec v_2 - \vec v_1 \end{aligned} \quad \right\}$$

La siguiente figura muestra lo que se denomina conjunción superior y oposición de un planeta superior (Marte, Júpiter,…) así como conjunción superior y conjunción inferior de un planeta inferior (Mercurio, Venus)

Para los planetas inferiores el movimiento aparente retrógrado visto desde la Tierra se da cerca de la conjunción inferior, cuando el planeta “adelanta” a la Tierra. Mientras que para los planetas superiores se da cuando es la Tierra la que “adelanta” al planeta cerca de la oposición

En la imagen inferior se representan los vectores posición y velocidad del planeta respecto de la Tierra. La imagen es cualitativa, la longitud de los vectores no está a escala:

• (1) Conjunción superior. Movimiento directo
• (2) Movimiento directo
• (3) Planeta estacionario
• (4) Movimiento retrógrado
• (5) Movimiento retrógrado. Oposición si es un planeta superior o Conjunción Inferior si es un planeta inferior
• (6) Movimiento retrógrado
• (7) Planeta estacionario
• (8) Movimiento directo
• (9) Conjunción superior. Movimiento directo

Como hemos explicado antes, un planeta se define “estacionario” cuando cesa de aumentar su longitud eclíptica, el planeta se detiene aparentemente en el cielo, y está a punto de empezar a moverse en sentido retrógrado disminuyendo su longitud eclíptica. Y volverá a ser estacionario cuando detenga su movimiento retrógrado y pase de nuevo a movimiento directo.

Como se intenta visualizar en la imagen, en el instante estacionario (por definición) no hay componente transversal de la velocidad geocéntrica, solo puede haber componente radial, situaciones (3) y (7) de la figura. En las situaciones estacionarias, (3) y (7) reflejadas en la figura, el vector velocidad es paralelo al vector de posición, condición que se expresa matemáticamente estableciendo que su producto vectorial es nulo:

$$\boxed{\vec r \times \vec v = 0}$$

A partir de aquí, y de (2) obtenemos operando:

$(\vec r_2 - \vec r_1) \times (\vec v_2 - \vec v_1) = 0$

$\vec r_1 \times \vec v_2 + \vec r_2 \times \vec v_1 = \vec r_1 \times \vec v_1 + \vec r_2 \times v_2$

Ahora, teniendo en cuenta (1)

$\vec r_1 \times (\vec n_2 \times \vec r_2) + \vec r_2 \times ( \vec n_1 \times \vec r_1) = \vec r_1 \times (\vec n_1 \times \vec r_1)+ \vec r_2 \times (\vec n_2 \times \vec r_2)$

Aplicamos la conocida propiedad del doble producto vectorial, que permite transformar productos vectoriales en productos escalares:

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b \ ( \vec c \cdot \vec a) - \vec c \ (\vec a \cdot \vec b)$

Y obtenemos:

$\vec n_2(\vec r_1\cdot \vec r_2)-\vec r_2(\vec n_2\cdot \vec r_1)+\vec n_1(\vec r_1\cdot \vec r_2)-\vec r_1(\vec n_1\cdot \vec r_2) = \vec n_1 r_1^2-\vec r_1(\vec n_1\cdot \vec r_1)+\vec n_2 r_2^2-\vec r_2(\vec n_2\cdot \vec r_2)$

El producto escalar de 2 vectores perpendiculares es cero, por lo tanto son nulos los sumandos en negrita:

$\vec n_2(\vec r_1\cdot \vec r_2)-\vec r_2(\boldsymbol{\vec n_2\cdot \vec r_1})+\vec n_1(\vec r_1\cdot \vec r_2)-\vec r_1(\boldsymbol{\vec n_1\cdot \vec r_2}) = \vec n_1 r_1^2-\vec r_1(\boldsymbol{\vec n_1\cdot \vec r_1})+\vec n_2 r_2^2-\vec r_2(\boldsymbol{\vec n_2\cdot \vec r_2})$

Y nos queda:

$(\vec n_1+\vec n_2) (\vec r_1 \cdot \vec r_2) = \vec n_1 r_1^2 + \vec n_2 r_2^2$

Como $\vec n_1$ y $\vec n_2$ son paralelos, su suma vectorial es igual a la suma de sus módulos. Y el producto escalar de $\vec r_1 \cdot \vec r_2$ es $\vec r_1 \cdot \vec r_2 =r_1 r_2 \cos \widehat{r_1 r_2}$

$\widehat{r_1 r_2}=A=\vert A_1 - A_2 \vert$

$(n_1+n_2)r_1 r_2 \cos A=n_1 r_1^2+n_2 r_2^2$

$$\cos A=\dfrac{n_1 r_1^2+n_2 r_2^2}{(n_1+n_2)r_1 r_2}$$

Recordemos que las velocidades angulares en función de los períodos orbitales son:

$n_1=\dfrac{2 \pi}{T_1}$

$n_2=\dfrac{2 \pi}{T_2}$

Si conocemos los períodos orbitales y las distancias medias orbitales, estas 3 últimas ecuaciones permiten calcular el ángulo A del instante estacionario. Pero teniendo en cuenta la 3ª Ley de Kepler, podemos simplificar la expresión del ángulo y dejarla, solo en función de los períodos orbitales, o solo en función de los radios orbitales. Llamamos M a la masa del Sol:

$n_1^2 r_1^3=G(M+m_1) \simeq GM = \mu$

$n_2^2 r_2^3=G(M+m_2) \simeq GM = \mu$

$n_1=\mu^{1/2} \ r_1^{-3/2}$

$n_2=\mu^{1/2} \ r_2^{-3/2}$

Sustituyendo en (3) y simplificando obtenemos el ángulo en función de los radios orbitales:

$$\boxed{\cos A=\dfrac{r_1\sqrt{r_2}+r_2\sqrt{r_1}}{r_1\sqrt{r_1}+r_2\sqrt{r_2}}}$$

O si se prefiere, también según la tercera ley de Kepler:

$r_1=\sqrt[3]{\dfrac{\mu}{4\pi^2}} \cdot \sqrt[3]{T_1^2}$

$r_2=\sqrt[3]{\dfrac{\mu}{4\pi^2}} \cdot \sqrt[3]{T_2^2}$

Sustituyendo en (3) y simplificando obtenemos el ángulo en función de los períodos orbitales:

$$\cos A=\dfrac{\sqrt[3]{T_1 T_2}}{\sqrt[3]{T_1^2}+\sqrt[3]{T_2^2}-\sqrt[3]{T_1 T_2}}$$

De la imagen anterior:

$A=\vert A_1 – A_2 \vert$

Si empezamos a contar el tiempo a partir de la Conjunción Inferior si es un planeta inferior y a partir de la Oposición si es un planeta superior, podemos escribir:

$A_1=\dfrac{2\pi}{T_1} t$

$A_2=\dfrac{2\pi}{T_2} t$

En el momento en el que acontece que el planeta es estacionario:

$A=2\pi \left \vert \dfrac 1{T_1}-\dfrac 1{T_2}\right \vert t_{est}$

$$t_{est}=\dfrac{T_1T_2}{2\pi \vert T_1-T_2 \vert} A$$

Redundando, $t_{est}$ es:

• El tiempo transcurrido entre el primer instante estacionario y la Conjunción Inferior para un planeta Inferior
• El tiempo transcurrido entre la Conjunción Inferior y el segundo instante estacionario para un planeta Inferior
• El tiempo transcurrido entre el primer instante estacionario y la Oposición para un planeta Superior
• El tiempo transcurrido entre la Oposición y el segundo instante estacionario para un planeta Superior

Recordando la expresión del Período Sinódico:

$T_s=\dfrac{T_1T_2}{ \vert T_1-T_2 \vert }$

Obtenemos:

$$t_{est}=\dfrac A{2\pi} \ T_s$$

$$t_{est}=\dfrac {T_s}{2\pi} \ \arccos \left ( \dfrac{r_1\sqrt{r_2}+r_2\sqrt{r_1}}{r_1\sqrt{r_1}+r_2\sqrt{r_2}} \right )$$

O si preferimos realizar la operación en grados sexagesimales:

$$t_{est}=\dfrac{A^o}{360^o} \ T_s$$

El tiempo durante el cual el planeta presenta movimiento aparente retrógrado $T_{ret}$ es el tiempo transcurrido entre los dos momentos estacionarios, uno antes de la Oposición para planetas superiores (Conjunción Inferior para planetas inferiores) y el otro después de la oposición/conjunción inferior y tiene una duración de:

$$T_{ret}=2 \cdot t_{est}$$

Y el lapso de tiempo en el que el planeta tiene movimiento directo:

$$T_{dir}=T_s – T_{ret}$$

Para calcular la distancia del planeta a la Tierra en el momento estacionario, utilizamos el teorema del coseno en el triángulo Sol-Tierra-Planeta:

$r^2=r_1^2+r_2^2-2 r_1 r_2 \cos A$

Y a continuación aplicamos el teorema del seno al mismo triángulo para calcular el ángulo de Elongación en el instante estacionario:

$\sin E = \dfrac{r_2}r \ \sin A$

$$E = \arcsin \left ( \dfrac{r_2}r \ \sin A \right )$$

Y el Ángulo de Fase:

$F=\pi - A - E$

$F^o=180^o-A^o-E^o$

Finalmente, solo queda calcular cuál es el ángulo total “G” retrocedido aparentemente durante la duración completa del movimiento retrógrado. Partiendo de que es conocido el ángulo del instante estacionario “A” calculado anteriormente:

Planeta Inferior

$D=\dfrac{2\pi}{T_2} \ T_{ret}$

$B=D-A$

$\overrightarrow{SP1}=r_2 \ \hat i$

$\overrightarrow{ST1}=r_1 \cos A \ \hat i+r_1 \sin A \ \hat j$

$\overrightarrow{ST2}=r_1 \cos B \ \hat i+r_1 \sin B \ \hat j$

$\overrightarrow{SP2}=r_2 \cos D \ \hat i+r_2 \sin D \ \hat j$

$\overrightarrow{T1P1}=\overrightarrow{SP1}-\overrightarrow{ST1}$

$\overrightarrow{T2P2}=\overrightarrow{SP2}-\overrightarrow{ST2}$

Recordando la propiedad del producto escalar de vectores:

$$\cos G=\dfrac{\overrightarrow{T1P1} \cdot \overrightarrow{T2P2}}{\vert \overrightarrow{T1P1} \vert \cdot \vert \overrightarrow{T2P2} \vert }$$

Si previamente hemos calculado el Ángulo de Fase del planeta inferior “F”, recordando que los 4 ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, también podemos calcular el ángulo total retrocedido “G” mediante:

$G=2 \pi –(D+2F)$

$G^o=360^o –(D^o+2F^o)$

Planeta Superior

$D=\dfrac{2\pi}{T_1} \ T_{ret}$

$B=D-A$

$\overrightarrow{ST1}=r_1 \ \hat i$

$\overrightarrow{SP1}=r_2 \cos A \ \hat i+r_2 \sin A \ \hat j$

$\overrightarrow{SP2}=r_2 \cos B \ \hat i+r_2 \sin B \ \hat j$

$\overrightarrow{ST2}=r_1 \cos D \ \hat i+r_1 \sin D \ \hat j$

$\overrightarrow{T1P1}=\overrightarrow{SP1}-\overrightarrow{ST1}$

$\overrightarrow{T2P2}=\overrightarrow{SP2}-\overrightarrow{ST2}$

Recordando la propiedad del producto escalar de vectores:

$$\cos G=\dfrac{\overrightarrow{T1P1} \cdot \overrightarrow{T2P2}}{\vert \overrightarrow{T1P1} \vert \cdot \vert \overrightarrow{T2P2} \vert }$$

Si previamente hemos calculado el Ángulo de Elongación del planeta superior “E”, recordando que los 4 ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, también podemos calcular el ángulo total retrocedido “G” mediante:

$G=2 \pi –(D+2E)$

$G^o=360^o –(D^o+2E^o)$

En la tabla de abajo figuran los parámetros descritos para los siete planetas del Sistema Solar observados desde la Tierra. Recuérdese que son valores medios aproximados, puesto que las órbitas no son coplanarias, no son circulares sino elípticas y no se recorren con movimiento uniforme. Las mayores desviaciones respecto de los valores de la tabla corresponden a Mercurio y Marte, que son los que tienen órbitas más excéntricas.

Título en inglés: Stationary planet, planet in retrograde motion and in direct motion. Calculation

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Saludos.

[Richard R Richard]

Excelente trabajo!! Ya veo donde se iban a usar esas ecuaciones vectoriales!!! Un Lujo...
Suponer órbitas elipticas cambia las conclusiones? El sistema solar no tiene en general alta excentricidad, por lo que este cálculo que has presentado debe ser muy preciso.

[Alriga]

Richard R Richard , el hecho de que las órbitas sean elípticas e inclinadas respecto de la eclíptica, significa que el cálculo realizado con órbitas circulares coplanarias es solo un promedio. La órbita más elíptica y más inclinada de entre los 8 planetas es la de Mercurio. Según la tabla de movimiento hipotético circular del artículo, la duración del período de tiempo retrógrado de Mercurio es de ~22,9 días.

Para darnos una idea de las desviaciones, he mirado en los anuarios astronómicos desde 2015 hasta 2022 ambos inclusive, (25 retrogradaciones) y el menor valor que he encontrado ha sido de 19,6 días, mientras que el mayor valor ha sido de 24,6 días. Estas cifras implican un error respecto del valor promedio calculado menor del 15%. Muy probablemente para el resto de planetas, el error relativo será menor.

EDITADO: He mirado en los anuarios las últimas 10 retrogradaciones de Venus: el menor valor es 39,9 días y el mayor valor 44,2 días. Respecto del valor calculado para órbitas circulares coplanarias que es de 42,2 días, el error es menor del 6%

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias Alriga, cuando alguna vez me de cuenta como formular mi mapa tres 3d del sistema solar que empecé 3 veces y nunca terminé, espero que puedas checar esos datos en la simulación fielmente
, por ahora encontrar datos en los que yo este seguro que representen lo que quiero y convertir coordenadas , me sigue volviendo loco .