El Sol se mueve siempre aparentemente en sentido antihorario respecto del fondo de “estrellas fijas” visto desde el polo norte de la eclíptica. A ese sentido de giro se le llama “sentido directo” y es en el sentido en el que también se mueve la Luna respecto de las estrellas.

Y los antiguos observaron que en general, los planetas también se movían en movimiento directo la mayor parte del tiempo, pero que todos ellos circunstancialmente se detenían, invertían su movimiento y durante un tiempo se movían en sentido horario (llamado movimiento retrógrado), para después volverse a detener y recuperar el movimiento directo. Para explicar estos períodos de movimiento retrogrado desde un modelo geocéntrico, inventaron los epiciclos.

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Al instante en el que el planeta que estaba en movimiento directo se detiene y pasa a movimiento retrógrado (y viceversa, al instante en el que el planeta que estaba en movimiento retrógrado se detiene y pasa a movimiento directo), se le denomina con el nombre del planeta seguido de la palabra “estacionario”. Así, podemos leer en los anuarios de efemérides astronómicas fechas en las que por ejemplo aparece “Venus estacionario” o “Saturno estacionario

Cuando Copérnico presentó su modelo heliocéntrico demostró que éste predecía sin problemas tanto los momentos estacionarios como los períodos de movimiento retrógrado y directo de los planetas vistos desde la Tierra:

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El objetivo del presente artículo es calcular los momentos estacionarios y los períodos de movimiento directo y retrógrado de los planetas partiendo de algunas simplificaciones: vamos a suponer que la Tierra y el planeta estudiado tienen órbitas circulares, coplanarias (el plano orbital es el de la eclíptica) con centro en el Sol y recorridas con velocidad constante.

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  • es el vector de posición heliocéntrico de la Tierra
  • es el vector de posición heliocéntrico del planeta considerado
  • es la velocidad heliocéntrica de la Tierra
  • es la velocidad heliocéntrica del planeta
  • es la velocidad angular heliocéntrica de la Tierra
  • es la velocidad angular heliocéntrica del planeta
Por cinemática básica sabemos:


En donde el aspa significa producto vectorial. Como lo que queremos estudiar es el movimiento relativo del planeta visto desde la Tierra, el vector de posición geocéntrico y la velocidad geocéntrica del planeta serán respectivamente:


La siguiente figura muestra lo que se denomina conjunción superior y oposición de un planeta superior (Marte, Júpiter,…) así como conjunción superior y conjunción inferior de un planeta inferior (Mercurio, Venus)

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Para los planetas inferiores el movimiento aparente retrógrado visto desde la Tierra se da cerca de la conjunción inferior, cuando el planeta “adelanta” a la Tierra. Mientras que para los planetas superiores se da cuando es la Tierra la que “adelanta” al planeta cerca de la oposición

En la imagen inferior se representan los vectores posición y velocidad del planeta respecto de la Tierra. La imagen es cualitativa, la longitud de los vectores no está a escala:

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  • (1) Conjunción superior. Movimiento directo
  • (2) Movimiento directo
  • (3) Planeta estacionario
  • (4) Movimiento retrógrado
  • (5) Movimiento retrógrado. Oposición si es un planeta superior o Conjunción Inferior si es un planeta inferior
  • (6) Movimiento retrógrado
  • (7) Planeta estacionario
  • (8) Movimiento directo
  • (9) Conjunción superior. Movimiento directo
Como hemos explicado antes, un planeta se define “estacionario” cuando cesa de aumentar su longitud eclíptica, el planeta se detiene aparentemente en el cielo, y está a punto de empezar a moverse en sentido retrógrado disminuyendo su longitud eclíptica. Y volverá a ser estacionario cuando detenga su movimiento retrógrado y pase de nuevo a movimiento directo.

Como se intenta visualizar en la imagen, en el instante estacionario (por definición) no hay componente transversal de la velocidad geocéntrica, solo puede haber componente radial, situaciones (3) y (7) de la figura. En las situaciones estacionarias, (3) y (7) reflejadas en la figura, el vector velocidad es paralelo al vector de posición, condición que se expresa matemáticamente estableciendo que su producto vectorial es nulo:


A partir de aquí, y de (2) obtenemos operando:





Ahora, teniendo en cuenta (1)



Aplicamos la conocida propiedad del doble producto vectorial, que permite transformar productos vectoriales en productos escalares:



Y obtenemos:



El producto escalar de 2 vectores perpendiculares es cero, por lo tanto son nulos los sumandos en negrita:



Y nos queda:



Como y son paralelos, su suma vectorial es igual a la suma de sus módulos. Y el producto escalar de

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Recordemos que las velocidades angulares en función de los períodos orbitales son:





Si conocemos los períodos orbitales y las distancias medias orbitales, estas 3 últimas ecuaciones permiten calcular el ángulo A del instante estacionario. Pero teniendo en cuenta la 3ª Ley de Kepler, podemos simplificar la expresión del ángulo y dejarla, solo en función de los períodos orbitales, o solo en función de los radios orbitales. Llamamos M a la masa del Sol:









Sustituyendo en (3) y simplificando obtenemos el ángulo en función de los radios orbitales:


O si se prefiere, también según la tercera ley de Kepler:





Sustituyendo en (3) y simplificando obtenemos el ángulo en función de los períodos orbitales:


De la imagen anterior:



Si empezamos a contar el tiempo a partir de la Conjunción Inferior si es un planeta inferior y a partir de la Oposición si es un planeta superior, podemos escribir:





En el momento en el que acontece que el planeta es estacionario:




Redundando, es:
  • El tiempo transcurrido entre el primer instante estacionario y la Conjunción Inferior para un planeta Inferior
  • El tiempo transcurrido entre la Conjunción Inferior y el segundo instante estacionario para un planeta Inferior
  • El tiempo transcurrido entre el primer instante estacionario y la Oposición para un planeta Superior
  • El tiempo transcurrido entre la Oposición y el segundo instante estacionario para un planeta Superior
Recordando la expresión del Período Sinódico:



Obtenemos:



O si preferimos realizar la operación en grados sexagesimales:


El tiempo durante el cual el planeta presenta movimiento aparente retrógrado es el tiempo transcurrido entre los dos momentos estacionarios, uno antes de la Oposición para planetas superiores (Conjunción Inferior para planetas inferiores) y el otro después de la oposición/conjunción inferior y tiene una duración de:


Y el lapso de tiempo en el que el planeta tiene movimiento directo:


Para calcular la distancia del planeta a la Tierra en el momento estacionario, utilizamos el teorema del coseno en el triángulo Sol-Tierra-Planeta:



Y a continuación aplicamos el teorema del seno al mismo triángulo para calcular el ángulo de Elongación en el instante estacionario:




Y el Ángulo de Fase:





Finalmente, solo queda calcular cuál es el ángulo total “G” retrocedido aparentemente durante la duración completa del movimiento retrógrado. Partiendo de que es conocido el ángulo del instante estacionario “A” calculado anteriormente:

Planeta Inferior

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Recordando la propiedad del producto escalar de vectores:


Si previamente hemos calculado el Ángulo de Fase del planeta inferior “F”, recordando que los 4 ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, también podemos calcular el ángulo total retrocedido “G” mediante:





Planeta Superior

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Recordando la propiedad del producto escalar de vectores:


Si previamente hemos calculado el Ángulo de Elongación del planeta superior “E”, recordando que los 4 ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, también podemos calcular el ángulo total retrocedido “G” mediante:





En la tabla de abajo figuran los parámetros descritos para los siete planetas del Sistema Solar observados desde la Tierra. Recuérdese que son valores medios aproximados, puesto que las órbitas no son coplanarias, no son circulares sino elípticas y no se recorren con movimiento uniforme. Las mayores desviaciones respecto de los valores de la tabla corresponden a Mercurio y Marte, que son los que tienen órbitas más excéntricas.

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Título en inglés: Stationary planet, planet in retrograde motion and in direct motion. Calculation

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Saludos.