Transmisión de calor a través de una pared cilíndrica. Aproximación de pared plana

[Alriga]

Sea un cilindro hueco de longitud $\boldsymbol L$, de radio interior $\boldsymbol{r_1}$ , espesor de pared $\boldsymbol e$ y radio exterior $\boldsymbol{r_2}$ . La temperatura de la pared interior del cilindro es $\boldsymbol{T_1}$ y la temperatura del aire lo suficientemente lejos de la pared exterior es $\boldsymbol{T_{\infty}}$

La aplicación de la Ley de Fourier para la conducción y la Ley del enfriamiento de Newton usando coordenadas cilíndricas, permite obtener para el régimen permanente la bien conocida expresión de la potencia $(W)$ por unidad de longitud $(m)$ que se transmite a través de la pared lateral del cilindro:

$$\boxed{\dfrac{\dot Q}L=\dfrac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac{\ln \dfrac{r_2}{r_1}}{2\pi k}+\dfrac 1{2\pi r_2 h}}}$$

En donde $\boldsymbol k$ es la conductividad térmica del material de la pared cilíndrica $W/(m\cdot K)$ y $\boldsymbol h$ es el coeficiente de transmisión de calor combinado convección/radiación $W/(m^2 \cdot K)$

El objetivo de este desarrollo es demostrar que, para grosores de pared mucho menores que el radio del cilindro, es posible utilizar como buena aproximación la expresión de la transferencia de calor para paredes planas. Empezamos pasando la longitud del cilindro al segundo miembro:

$$\dot Q=\dfrac{L(T_1-T_{\infty})}{\dfrac{\ln \dfrac{r_2}{r_1}}{2\pi k}+\dfrac 1{2\pi r_2 h}}$$

Evidentemente:

$r_2=r_1+e$

$\ln \dfrac{r_2}{r_1}=\ln \left ( 1+\dfrac e{r_1} \right )$

El desarrollo en serie de Taylor de la función $\ln (1+x)$ es:

$\ln (1+x)=x - \dfrac{x^2}2+ \dfrac{x^3}3 - \dfrac{x^4}4 +\dots$

Que converge para $-1 < x \leq 1$

Por lo tanto:

$\ln \left ( 1+\dfrac e{r_1} \right )= \dfrac e{r_1}-\dfrac 1 2 \left ( \dfrac e{r_1} \right )^2 + \dfrac 1 3 \left ( \dfrac e{r_1} \right )^3 - \dfrac 1 4 \left ( \dfrac e{r_1} \right )^4 + \dots$

Para espesores de pared mucho menores que el radio del cilindro $e < < r_1$ podemos despreciar los sumandos de la serie de Taylor de grado 2 y superior

$\ln \dfrac{r_2}{r_1}=\ln \left ( 1+\dfrac e{r_1} \right ) \simeq \dfrac e{r_1}$

Sustituyendo

$\dot Q \simeq \dfrac{L(T_1-T_{\infty})}{\dfrac e{2\pi r_1 k}+\dfrac 1{2\pi r_2 h}}$

Como

$e < < r_1 \quad \rightarrow \quad r_2=r_1 + e \simeq r_1$

Y por lo tanto:

$$\dot Q \simeq \dfrac{(2 \pi r_2 L) (T_1-T_{\infty})}{\dfrac e k+\dfrac 1 h}$$

El área lateral exterior del cilindro es

$A=2\pi r_2 L$

Lo que implica que:

$$\boxed{\dfrac{\dot Q}A \simeq \dfrac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac e k+\dfrac 1 h}}$$

Y por lo tanto queda demostrado que, para espesores de pared cilíndrica mucho menores que el radio del cilindro, utilizar la expresión de la transmisión de calor a través de paredes planas (2) es una buena aproximación de la expresión rigurosa (1)

Saludos.