Transmisión de calor a través de la pared de una esfera. Aproximación de pared plana

[Alriga]

Sea una esfera hueca de radio interior $\boldsymbol{r_1}$ , espesor de pared $\boldsymbol e$ y radio exterior $\boldsymbol{r_2}$ . La temperatura de la pared interior de la esfera es $\boldsymbol{T_1}$ y la temperatura del aire lo suficientemente lejos de la pared exterior es $\boldsymbol{T_{\infty}}$

La aplicación de la Ley de Fourier para la conducción y la Ley del enfriamiento de Newton usando coordenadas esféricas, permite obtener para el régimen permanente la bien conocida expresión de la potencia $(W)$ que se transmite a través de la pared de la esfera:

$$\boxed{\dot Q=\dfrac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac{r_2-r_1}{4 \pi r_1 r_2 k}+\dfrac 1{4\pi r_2^2 h}}}$$

En donde $\boldsymbol k$ es la conductividad térmica del material de la pared esférica $W/(m\cdot K)$ y $\boldsymbol h$ es el coeficiente de transmisión de calor combinado convección/radiación $W/(m^2 \cdot K)$

El objetivo de este desarrollo es demostrar que para grosores de pared mucho menores que el radio de la esfera, es posible utilizar como buena aproximación la expresión de la transferencia de calor para paredes planas.

Evidentemente:

$r_2=r_1+e \quad \rightarrow \quad r_2-r_1=e$

Para espesores de pared mucho menores que el radio de la esfera

$e < < r_1 \quad \rightarrow \quad r_2=r_1 + e \simeq r_1$

Sustituyendo:

$$\dot Q \simeq \dfrac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac{e}{4 \pi r_2^2 k}+\dfrac 1{4\pi r_2^2 h}}$$

El área exterior de la esfera es

$A=4 \pi r_2^2$

Lo que implica que:

$$\boxed{\dot Q \simeq \dfrac{A \, (T_1-T_{\infty})}{\dfrac e k+\dfrac 1 h}}$$

Y por lo tanto queda demostrado que, para espesores de pared esférica mucho menores que el radio de la esfera, utilizar la expresión de la transmisión de calor a través de paredes planas (2) es una buena aproximación de la expresión rigurosa (1)

Saludos.