Partícula puntual relativista. Una partícula muy rápida en un mundo que no existe.

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Partícula puntual

Desde el punto de vista relativista una partícula puntual va a seguir una trayectoria que extremiza una determinada cantidad denominada acción. Evidentemente en este caso la acción será la longitud de la línea de mundo de la partícula entre un punto inicial y final.

$S=m\int_{s_i}^{s_f}ds=m\int_{\tau_0}^{\tau_1}d\tau\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^{\nu}}$

Donde hemos empleado la métrica de Minkowski con la convención (-,+++). El parámetro empleado se identifica con el tiempo propio de la partícula en una determinada situación pero en principio es un parámetro arbitrario.

El momento canónicamente conjugado a la posición de la partícula viene dado por:

$p_\mu=\frac{m\dot{x}_\mu}{\sqrt{-\dot{x}^2}}$

Si calculamos $p^2$ (empleando la métrica de Minkowski donde corresponde) obtenemos:

$p^2+m^2=0$

Que actúa como una ligadura en el sistema. Todas las partículas han de verificar esta condición que se conoce como condición de capa de masas.

Las ecuaciones de movimiento obtenidas del Lagrangiano correspondiente son:

$\partial_\tau (\frac{m\dot{x}^2}{\sqrt{-\dot{x}^2}})=0$

Hamiltoniano:

Ahora ocurre un hecho curioso, si calculamos el Hamiltoniano de la teoría:

$H=p_\mu\dot{x}^\mu-L$

Sustituyendo el momento, encontramos que H=0. Esto quiere decir que estamos ante un sistema completamente ligado, de hecho, podemos modificar el Hamiltoniano, siguiendo las preescripción de Dirac con las ligaduras correspondientes.

$H=\frac{N}{2m}(p^2+m^2)$

Que no es más que una ligadura que se anula en la capa de masas, con lo cual es consistente con el hecho de que el Hamiltoniano se anule en las soluciones a las ecuaciones de movimiento.

En lo anterior hemos elegido introducir una función indeterminada N, que de hecho es un multiplicador de Lagrange cuya misión consiste en asegurar que la ligadura se cumple. Si tomamos N=1, $\tau$ es el tiempo propio.

Las ecuaciones Hamiltonianas serán ahora:

$\dot{x}^\mu=N\frac{\dot{x}^\mu}{\sqrt{-\dot{x}^2}}$

Lo que implica: $\dot{x}^2=-N^2$
Notemos que el signo negativo en la norma de la velocidad indica que estamos ante trayectorias de genero temporal.

Tenemos un par de problemillas aquí:

1º No podemos definir partículas sin masa. Si m=0 nos cargamos la acción.
2º La acción tiene una fea raíz cuadrada lo que puede hacer problemática una posible cuantización.

Otra acción para la partícula relativista:

Definamos un campo que toma valores en la línea de mundo de la partícula $e(\tau)$. Podemos entender este campo como una mónada (einbein) al igual que las tétradas o tríadas que han sido introducidas en otros post de este foro (emplear el buscador). En este caso sólo necesitamos un vector definido sobre la línea de mundo.


Gracias a este campo podemos escribir la siguiente acción:

$S=\frac{1}{2}\int d\tau (e^{-1}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\eta_{\mu\nu}-em^2)$

Definiremos $\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\eta_{\mu\nu}=\dot{x}^2$

Si definimos la métrica sobre la línea de mundo $g_{\tau\tau}$ y tomamos $e=\sqrt{-g_{\tau\tau}}$, la acción se puede reescribir como:

$S=-\frac{1}{2}\int d\tau \sqrt{-g_{\tau\tau}(g^{\tau\tau}\dot{x}^2+m^2)}$

Esta acción conduce a las mismas ecuaciones del movimiento que la del post anterior pero la ligadura toma ahora la forma:

$\dot{x}^2+e^2m^2=0$

La acción tiene las siguientes propiedades (que son triviales de comprobar):

1.- Es invariante bajo reparametrizaciones.
2.- e se comporta como una densidad en la línea de mundo.
3.- Las componentes de la posición espaciotemporal son escalares en la línea de mundo.

La utilización de esta segunda acción es atractiva por varios motivos:

a) No introduce ninguna raíz cuadrada, lo que hace que su implementación a nivel cuántico se comporte de una manera más manejable.
b) Es fácilmente asimilable a partículas sin masa.
Su estructura es más “covariante”.