Introducción a la Loop Quantum Gravity VI

[Entro]

Spin networks e invariancia gauge.

Ligadura de Gauss: $G_i=D_aE_i^a$

Esta ligadura genera las transformaciones gauge SU(2). Es decir, sobre las holonomías tenemos la siguiente transformación SU(2):

$h_e[A]\mapsto g(s(e))h_e g(t(e))^{-1}$

g() es la transformación gauge, un elemento del grupo SU(2)
s(e) es el punto “inicial” del lado e en el que calculamos la holonomía.
t(e) es el punto final.

Se hace evidente que la transformación de la holonomía es idéntica a la que tendría cualquier elemento del propio grupo SU(2). Por eso se eligen dichas variables. Además se pueden entender por qué se eligen los estados como trazas de las holonomías, recordando que la traza tiene la propiedad cíclica se cumple que:

$Tr(h_e[A])=Tr(g(s(e))h_e g(t(e))^{-1})$

Formas de implementar la ligadura:

1.- Reescribir la ligadura en términos de holonomías y flujos, estos sabemos cuantizarlos. Se cuantiza la ligadura reescrita así y buscamos su kernel.

2.- También podemos decir, todos los estados en el Hilbert cinemático son invariantes bajo transformaciones gauge por construcción.

Ambos métodos han sido empleados y, afortunadamente, dan el mismo resultado .

El espacio de soluciones del operador ligadura $\mathcal{H}_{gauge}$ es un subespacio propio del $\mathcal{H}_{kin}$.

Como hemos determinado, tenemos una base en el espacio de Hilbert cinemático dada por los spin networks. En los vértices de los mismos tenemos definidos los intertwiners (intercambiadores):

$I_v:\bigotimes_{e\phantom{a}entrante}\pi_{j(e)}\rightarrow\bigotimes_{e\phantom{b}saliente}\pi_{j(e)}$

De forma que se cumple:

$I_v\pi_{entrante}(g)=\pi_{saliente}(g)I_v$

Esto viene aplicando el producto tensorial de las representaciones de los lados entrantes en las representaciones de los lados salientes. Al contraer las holonomías (que son objetos matriciales) con estos intertwiners aseguramos que los estados descritos de esta forma son invariantes gauge.