Teoría gauge: la fuerza de la ligadura I

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Las teorías gauge al ser expresadas con un formalismo Hamiltoniano se presentan como sistemas con ligaduras. Las ligaduras son condiciones que han de satisfacer las variables canónicas.

Generalmente una teoría gauge implica que tenemos un grupo de simetría continuo (un grupo de Lie) en un espacio interno. Es decir, no son transformaciones espaciotemporales como pueden ser las transformaciones de Lorentz o rotaciones en el espacio, etc. Dichas simetrías actúan sobre grados de libertad internos que no están relacionados directamente con las coordenadas espaciotemporales.

Esto implica que, en el espacio interno donde viven esos grados de libertad extra (por ejemplo el espín), tenemos un sistema de referencia cuya especificación es totalmente arbitraria. Las teorías se han de construir sobre objetos físicos que sean insensibles a un cambio en dicho sistema de referencia interno, estas son las cantidades invariantes gauge.

Esta arbitrariedad conlleva una indeterminación en la evolución temporal de las variables (quizás habríamos de emplear la palabra redundancia en vez de indeterminación para no confundir con el principio de Heisenberg, ya que la discusión que estamos llevando aquí es puramente clásica no cabe la malinterpretación). Vamos a explicar esto más detalladamente:

1.- Disponemos de un conjunto de condiciones iniciales.
2.- La solución general de las ecuaciones de movimiento contendrá una función arbitraria del tiempo que en el formalismo hamiltoniano se transforma en una ligadura entre la variables canónicas.

En mecánica tenemos la acción que determina la dinámica de un sistema:

$S=\int_{t_0}^{t_1}dtL(q,\dot{q})$

de donde se extraen las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^i}=0$

Estas ecuaciones se pueden reescribir como:

$\ddot{q}^i\frac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^j}=\frac{\partial L}{\partial q^j}-\dot{q}^i\frac{\partial^2 L}{\partial q^i\partial \dot{q}^j}$

Las aceleraciones se pueden expresar en términos de posiciones y velocidades solo si la matriz

$\frac{\partial^2 L}{\partial\dot{q}^i\partial\dot{q}^j}$ es invertible, es decir, que su determinante es diferente de cero.

En otro caso las ecuaciones de movimiento presentarán funciones arbitrarias del tiempo y nos dan un sistema ligado.

Si la matriz anterior tiene determinante nulo entonces la relación entre momentos y coordenadas y velocidades no es invertible $p=p(q,\dot{q})$. Es decir que los momentos no son independientes sino que verifican ciertas relaciones:

$\phi_m(q,p)=0$

Estas son las que se conocen como LIGADURAS PRIMARIAS. Esto significa que se obtienen sin necesidad de recurrir a las ecuaciones de movimiento.

Dentro del espacio de fase tenemos una subvariedad conocida como superficie de ligaduras primarias que es donde dichas ligaduras se satisfacen. La dimensión de esta superficie ligada es el número de ligaduras primarias sobre el sistema.

continuará...