¿De dónde vienen las funciones hiperbólicas?

[GNzcuber]

Supongo que varios nos hemos esta pregunta, porque es fácil visualizar ciertas propiedades trigonométricas de la circunferencia unitaria, sin embargo es mucho más difícil de visualizar las propiedades de una cónica abierta como lo es la hipérbola.

Me basaré en un documento que encontré por internet y que me agradó.

Interpretación geométrica del argumento de las funciones hiperbólicas:

Si en el uso de las funciones circulares es argumento más frecuentemente usado es el ángulo central $AOC=\alpha$ con centro en el origen de la circunferencia y medido desde el semieje positivo de las abscisas en sentido antihorario, para las funciones hiperbólicas no resulta muy práctico este argumento porque le falta la congruencia geométrica que posee en las funciones circulares.

Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares el valor "$x$" correspondiente al área del sector circular con ángulo central $FOC=2\alpha$, puesto que de la circunferencia unitaria se tiene:

$\dst Area=x=\frac{2\alpha \cdot r^2}{2}=\alpha=Angulocentralmitad$

Y así $\dst \sin x={d}(DC)=\sin \alpha$, $\dst \cos x={d}(OD)=\cos \alpha$, y $\tan{x}={d}(AB)=\tan{\alpha}$

Si aplicamos esta idea de argumento a una hipérbola unitaria, es decir, a la figura geométrica tal que la distancia a dos puntos fijos llamados focos sea constante e igual a la unidad ($y^2-x^2=1$), obtenemos un argumento más consistente que depende del área encerrada por la hipérbola inscrita en un triángulo isósceles con vértice en el origen.

Si llamamos $t={d}(DC)$, $c={d}(OA)$, y $s={d}(AB)$, tendremos:
1º) El punto B, de coordenadas (c,s) pertenece a la hipérbola y por tanto $c^2-s^2=1$.
2º) Por el teorema de Thales $\dst \frac{t}{1}=\frac{s}{c}$.

Ahora calcularemos el área "$x$": $\dst x=s\cdot c-2\int_{1}^{c}\sqrt{x^2-1}{d}x$

Primero, hallemos la primitiva:
$\dst \left\{\begin{aligned}\int\sqrt{x^2-1}{d}x=\int\sqrt{\sec{y}-1}\frac{\sin y}{\cos^2y}{d}y=\int\frac{\sin^2y}{\cos^3y}{d}y\\x=\sec{y}\Rightarrow {d}x=\frac{\sin y}{\cos^2y}{d}y\\1+\tan^2y=\sec^2y\end{aligned}\right.$

Nuevamente con un cambio de variable:

$\dst \left\{\begin{aligned} \int\frac{\sin^2y}{(1-\sin^2y)\cos y}{d}y=\int\frac{\sin^2y\cos y}{(1-\sin^2y)^2}{d}y=\int\frac{t^2{d}t}{(1-t^2)^2}\\ t=\sin y \Rightarrow dt=\cos y{d}y\\\frac{t^2}{(1-t^2)^2}=\frac{A}{1-t}+\frac{B}{(1-t)^2}+\frac{C}{1+t}+\frac{D}{(1+t)^2}\\\left.\begin{aligned}-A+C=0\\-A+B-C+D=1\\A+2B-C-2D=0\\A+B+C+D=0\end{aligned}\right\}\left(\begin{matrix}-1&0&1&0&0\\-1&1&-1&1&1\\1&2&-1&-2&0\\1&1&1&1&0\end{matrix}\right)\end{aligned}\right.$

Resolviendo la matriz: $\dst \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&0&0&-\frac{1}{4}\\0&1&0&0&\frac{1}{4}\\0&0&1&0&-\frac1{4}\\0&0&0&1&\frac1{4}\end{matrix}\right)$

$$\dst \frac1{4}\int\left(-\frac1{1-t}+\frac1{(1-t)^2}-\frac1{1+t}+\frac1{(1-t)^2}\right){d}t=$$

$$\dst \frac1{4}\ln(1-t)-\frac1{4}\ln(1+t)+\frac1{4(1-t)}-\frac1{4(1+t)}+C=\ln\left(\sqrt[4]{\frac{1-t}{1+t}}\right)+\frac{t}{2(1-t^2)}+C$$

Y volviendo con los cambios de variables. Sabiendo que:

$$\dst \left.\begin{aligned}t=\sin y\\y=\arccos\frac1{x}\end{aligned}\right\}t=\sin\left(\arccos\frac1{x}\right)=\sqrt{1-\left(\frac1{x}\right)^2}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$$

$$\dst\frac1{4}\ln\left(\frac{1-\sin y}{1+\sin y}\right)+\frac{\sin y}{2\cos^2y}+C=\frac1{4}\ln\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\left(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)\right)+\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2}+C$$

$$\dst \frac1{4}\ln\left(\frac{1}{(x+\sqrt{x^2-1})^2}\right)+\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2}+C=\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac1{2}\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C$$

Y ya tenemos su primitiva, ahora seguimos calculando el área: $\dst x=s\cdot c -2\left[\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac1{2}\ln (x+\sqrt{x^2-1})\right]_{1}^{c}=s\cdot c-c\sqrt{c^2-1}+\ln\left|c+\sqrt{c^2-1}\right|$

Como $\dst s=\sqrt{c^2-1}$ entonces su área es $\dst \ln\left|c+\sqrt{c^2-1}\right|$ en términos de "c", pero lo que realmente nos interesa de esto es el valor de "c" a partir de un área determinado:

$$\dst x=\ln\left|c+\sqrt{c^2-1}\right|\Rightarrow e^x=c+\sqrt{c^2-1}$$

$$\dst \left(e^x-c\right)^2=e^{2x}-2\cdot c\cdot e^x+c^2=c^2-1\Rightarrow c=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Nuevamente a partir del valor del área y la relación para la hipérbola obtenemos $\dst x=\ln\left(c-\sqrt{c^2+1}\right)=\ln\left(\sqrt{s^2+1}+s\right)$
Y despejando de la misma forma llegaremos a $s=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, por último nos queda "t", que como antes os había mostrado $t=\frac{s}{c}$ por Thales, se podría sustituir los valores obtenidos para "s" y "c" y nos daría el resultado correcto, sin embargo pondré otra forma de llegar, la que está en el documento, porque a pesar de que es más larga debe tener más fundamentos matemáticos debido a que la saca sin usar los valores a los que se llegó, es decir se puede hallar independientemente sin necesidad de obtener préviamente "s" y "c".

$$\dst t=\frac{s}{c}=\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\Rightarrow (t\cdot c)^2=c^2-1\Rightarrow c=\frac1{\sqrt{1-t^2}}$$

Además $\dst s=c\cdot t=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$, luego:

$$\dst \ln\left|s+c\right|=\ln\left|\frac1{\sqrt{1-t^2}}+\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\right|=\ln\left|\sqrt{\frac{(1+t)^2}{1-t^2}}\right|=\frac1{2}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|$$

Y de ahí: $\dst e^{2x}=\frac{1+t}{1-t}\Rightarrow t=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Y por último se define el valor de c como el coseno hiperbólico, s como el seno hiperbólico y t como la tangente hiperbólica.

Después de todo esto, una buena pregunta sería si vale la pena aprendérselas a nivel básico, cuando no se estudia cónicas. La razón es porque no son difíciles, y además $\dst (\cosh x)'=\left( \frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$.

Un ejemplo, la integral que resolví $\dst \int \sqrt{x^2-1}{d}x$ necesité dos cambios de variable y otros tipos de herramientas, pero haciendo un cambio de variable $\dst x=\cosh t \Rightarrow {d}x=\sinh t {d}t$ y las siguientes identidades:

$\dst \left.\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x=1\\\cosh (2x)=\cosh^2x+\sinh^2x\end{aligned}\right\}\sinh^2x=\frac{\cosh (2x)-1}{2}$

$\dst \int\sqrt{x^2-1}{d}x=\int\sinh^2t{d}t=\frac1{2}\int \left(\cosh (2t)-1\right){d}t=\frac1{4}\sinh (2t)-\frac{t}{2}+C$

Y deshaciendo el cambio, como $\dst x=\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\frac{e^{2t}+1}{2e^t}\Rightarrow e^{2t}-2x\cdot e^t+1=0$

$\dst e^t=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^2-4}}{2}=x\pm\sqrt{x^2-1}\Rightarrow t=\ln\left|x\pm\sqrt{x^2-1}\right|$ No sé por qué se debe escoger la suma, pero en ambos casos, tanto si se despeja el coseno como el seno hiperbólico se hace así. Por tanto:

$$\dst t=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$$

$$\dst \frac{\sinh 2t}{4}=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}=\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2-\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{-2}}{8}=\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^4-1}{8\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}=$$

$$\dst \frac{\left[\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2+1\right]\cdot\left[\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2-1\right]}{8\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}$$

$\dst \left[\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2+1\right]=2x\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$

$\dst \left[\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2-1\right]=2\left(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1\right)$

$\dst \Rightarrow \frac{\sinh 2t}{4}=\frac{x\left(x^2+x\sqrt{x^2-1}-1\right)}{2\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}=\frac{x}{2}-\frac{x}{2\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}\right)$

$\dst \frac{x}{2}-\frac{x^2-x\sqrt{x^2-1}}{2(x^2-x^2+1)}=x\frac{1-x+\sqrt{x^2-1}}{2}$*

Relación entre las funciones circulares e hiperbólicas:

Como había dicho al principio en las funciones circulares podemos visualizar más fácilmente ciertas relaciones o propiedades, sin embargo podemos hacer relaciones similares si encontramos un vínculos entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Dicho vínculo lo constituye la fórmula de Euler, obtenida a partir de desarrollos de Mc Laurin (desarrollo de la serie polinómica de Taylor cuando se evalúa una función en x=0).

$\dst e^{i\cdot x}=\cos x+i\cdot \sin x$

Resulta evidente que si queremos hallar la relación del coseno debemos sumar $\dst e^{-ix}$ porque $\cos (-x)=\cos (x)$ y $\sin (-x)=-\sin (x)$:

$\dst e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x \Rightarrow \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ pero $\dst \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\Rightarrow \cos (x)=\cosh (ix)$

De la misma forma para hallar la relación del seno debemos restar la expresión anterior:

$\dst e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x \Rightarrow \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ pero $\dst \sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2}\Rightarrow \sin (x) = \frac{\sinh (ix)}{i}=-i\sinh (ix)$

*De momento no veo el error